نامساوی مثلث: بررسی کامل نامساوی |a|+|b| ≤ |a+b| برای اعداد حقیقی
1. آشنایی با قدر مطلق و فاصله روی خط اعداد
قدر مطلق یک عدد حقیقی $a$ که با $|a|$ نشان داده میشود، فاصلهٔ آن نقطه از مبدأ (عدد صفر) روی خط اعداد است. بنابراین مقدار قدر مطلق هرگز منفی نیست و برای هر $a$ داریم: $|a| \ge 0$ و $|a| = 0$ فقط وقتی $a = 0$.
برای دو عدد حقیقی $a$ و $b$، جمع قدرمطلقها یعنی $|a| + |b|$ به صورت هندسی به معنای مجموع فاصلهٔ دو نقطه از مبدأ است. اما $|a + b|$ فاصلهٔ حاصلجمع دو عدد از مبدأ را نشان میدهد. مقایسهٔ این دو مقدار، پایهٔ اصلی نامساوی مثلث است.
2. بیان درست نامساوی مثلث و شرط برقراری آن
نامساوی مثلث برای دو عدد حقیقی معمولاً به شکل $|a+b| \le |a| + |b|$ نوشته میشود. اما در این مقاله ما شکل $|a| + |b| \le |a+b|$ را بررسی میکنیم که در واقع عکس حالت معمول است و فقط در شرایط خاصی برقرار میشود. برای جلوگیری از سردرگمی، بهتر است حالت کلی نامساوی مثلث را به خاطر بسپاریم:
اما برای $|a| + |b| \le |a + b|$ شرط لازم و کافی این است که $a$ و $b$ همعلامت باشند (هر دو غیرمنفی یا هر دو غیرمثبت) یا حداقل یکی از آنها صفر باشد.
| وضعیت علامت $a$ | وضعیت علامت $b$ | آیا $|a|+|b| \le |a+b|$ برقرار است؟ | ≥ $0$ | ≥ $0$ | بله (تساوی) | ≤ $0$ | ≤ $0$ | بله (تساوی) | ≥ $0$ | ≤ $0$ (و غیرصفر) | خیر | ≤ $0$ | ≥ $0$ (و غیرصفر) | خیر | صفر | هر مقدار | بله (تساوی) |
|---|
3. اثبات گام به گام با روش جبری
برای اثبات اینکه $|a| + |b| \le |a+b|$ اگر و فقط اگر $ab \ge 0$ (همعلامتی)، دو طرف نامساوی را مجذور میکنیم (چون هر دو طرف غیرمنفی هستند).
گام اول: شروع از $|a| + |b| \le |a+b|$
گام دوم: مجذور کردن دو طرف (مجاز است چون دو طرف نامساوی نامنفیاند):
$(|a| + |b|)^2 \le (|a+b|)^2 $
گام سوم: بسط دادن:
$|a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 \le (a+b)^2 $
گام چهارم: میدانیم $|a|^2 = a^2$ و $|b|^2 = b^2$ و $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. پس:
$a^2 + 2|a||b| + b^2 \le a^2 + 2ab + b^2 $
گام پنجم: ساده کردن $a^2$ و $b^2$ از دو طرف:
$2|a||b| \le 2ab $
گام ششم: تقسیم بر $2$ (عدد مثبت):
$|a||b| \le ab $
گام هفتم: میدانیم $|a||b| = |ab|$. بنابراین شرط به $|ab| \le ab$ تبدیل میشود. این نامساوی فقط زمانی برقرار است که $ab \ge 0$ (زیرا در این صورت $|ab| = ab$). در غیر این صورت اگر $ab \lt 0$ داریم $|ab| \gt ab$ و نامساوی نقض میشود.
4. تفسیر هندسی و کاربرد در اندازهگیری فاصله
روی خط اعداد، فاصلهٔ نقطهٔ $a$ از مبدأ برابر $|a|$ و فاصلهٔ $b$ از مبدأ برابر $|b|$ است. وقتی دو عدد همعلامت باشند، هر دو در یک سوی مبدأ قرار دارند. در این حالت فاصلهٔ مجموع آنها از مبدأ برابر است با مجموع فاصلههای هر یک از مبدأ؛ بهطوری که $|a+b| = |a|+|b|$ و تساوی برقرار است. اگر یکی از اعداد صفر باشد نیز همین وضعیت رخ میدهد.
اما اگر دو عدد غیرهمعلامت باشند، در دو سوی مبدأ قرار دارند. در این صورت جمع آنها به مبدأ نزدیکتر میشود و قدرمطلق جمع از مجموع قدرمطلقها کوچکتر میگردد. در واقع $|a+b|$ بیانگر فاصلهٔ حاصلجمع از صفر است.
5. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاسخ: زیرا در حالت کلی جمع قدرمطلقها از قدرمطلق جمع بزرگتر یا مساوی است. در واقع شکل استاندارد نامساوی مثلث $|a+b| \le |a|+|b|$ است. شکل مورد بحث ما (عکس آن) فقط در شرایط خاص همعلامتی یا صفر بودن یکی از اعداد برقرار میشود.
پاسخ: کافی است علامت حاصلضرب $ab$ را بررسی کنید. اگر $ab \ge 0$ (یعنی $a$ و $b$ هر دو غیرمنفی یا هر دو غیرمثبت یا یکی صفر) آنگاه نامساوی برقرار است. در غیر این صورت برقرار نیست.
پاسخ: بله. برای اعداد حقیقی $a_1, a_2, ..., a_n$ داریم $|a_1| + |a_2| + ... + |a_n| \le |a_1 + a_2 + ... + a_n|$ اگر و فقط اگر همهٔ اعداد همعلامت باشند (همگی نامنفی یا همگی نامثبت). در این حالت تساوی برقرار است.
6. جمعبندی نهایی
پاورقی
1 قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهٔ یک عدد حقیقی از صفر روی خط اعداد که همواره نامنفی است و با $|x|$ نمایش داده میشود.