سهمی: نمودار زیبای توابع درجه دوم
۱. تعریف سهمی و تابع درجه دوم
سهمی1 نموداری است که از یک تابع درجه دوم به دست میآید. تابع درجه دوم به صورت کلی $f(x) = ax^2 + bx + c$ نوشته میشود که در آن $a, b, c$ اعداد ثابت و $a \neq 0$ است.
اگر ضریب $a$ مثبت باشد، سهمی به سمت بالا باز میشود (شکل $U$ مانند) و اگر $a$ منفی باشد، سهمی به سمت پایین باز میشود (شکل وارونهٔ $U$ مانند).
مثال عملی فرض کنید تابع پرتاب یک توپ به صورت $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ باشد. در اینجا $a = -5$ منفی است، بنابراین مسیر توپ یک سهمی رو به پایین خواهد بود که نشاندهندهٔ بالا رفتن و سپس پایین آمدن توپ است.
۲. عناصر کلیدی سهمی: رأس و محور تقارن
هر سهمی یک نقطهٔ عطف به نام رأس2 دارد. همچنین یک خط عمودی به نام محور تقارن3 وجود دارد که سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم میکند. روابط زیر برای یافتن این عناصر به کار میروند:
- مختصات $x$ رأس: $h = -\frac{b}{2a}$
- مختصات $y$ رأس: $k = f(h) = a h^2 + b h + c$
- معادلهٔ محور تقارن: $x = h$
برای راحتتر پیدا کردن رأس میتوان از روش تکمیل مربع استفاده کرد که فرم استاندارد سهمی را به صورت $f(x) = a(x - h)^2 + k$ مینویسد. در این شکل، رأس دقیقاً $(h, k)$ است.
مثال: تابع $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ را در نظر بگیرید. در اینجا $a=2$، $b=-8$. پس $h = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4}=2$. سپس $k = f(2)= 2(4) -16 +5 = 8-16+5=-3$. رأس در نقطهٔ $(2, -3)$ و محور تقارن $x=2$ است. چون $a>0$، سهمی رو به بالا باز شده و رأس یک نقطهٔ کمینه است.
۳. جدول مقایسهٔ حالتهای مختلف ضریب a
| مقدار a | جهت بازشدگی | نوع رأس | نمونه معادله |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0$ | بالا (U مانند) | کمینه | $f(x)=x^2$ |
| $a \lt 0$ | پایین (وارونه U) | بیشینه | $f(x)=-x^2+4$ |
۴. کاربرد عملی سهمی در حرکت پرتابی
یکی از مهمترین کاربردهای سهمی در فیزیک، توصیف حرکت پرتابی4 است. وقتی توپی را با زاویه پرتاب میکنید، مسیر آن تحت تأثیر شتاب جاذبه (گرانش) به شکل یک سهمی رو به پایین خواهد بود. رابطهٔ ارتفاع بر حسب زمان به صورت $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + y_0$ است که در آن $g$ شتاب جاذبه، $v_0$ سرعت اولیه عمودی و $y_0$ ارتفاع اولیه است.
به عنوان مثال، اگر توپی با سرعت اولیه $v_0 = 15 \ \text{m/s}$ از ارتفاع $y_0 = 1.5 \ \text{m}$ به سمت بالا پرتاب شود و $g = 10 \ \text{m/s}^2$ باشد، معادلهٔ ارتفاع به صورت $y(t) = -5t^2 + 15t + 1.5$ است. با محاسبهٔ رأس میتوان حداکثر ارتفاع و زمان رسیدن به آن را یافت: $t_{max} = -\frac{15}{2 \times (-5)} = 1.5$ ثانیه و حداکثر ارتفاع $y(1.5) = -5(2.25) + 22.5 + 1.5 = 12.75$ متر.
همچنین در طراحی آینههای مقعر و آنتنهای ماهوارهای از خاصیت بازتابی سهمی استفاده میشود. پرتوهای موازی به محور سهمی، پس از بازتاب از آینه، در نقطهٔ کانونی5 جمع میشوند.
۵. چالشهای مفهومی در درک سهمی
سوال ۱: آیا تمام سهمیها دارای دو ریشه حقیقی هستند؟
پاسخ: خیر. ممیز ($\Delta = b^2 - 4ac$) مشخص میکند که چند ریشه حقیقی وجود دارد. اگر $\Delta \gt 0$ باشد، دو ریشهٔ حقیقی متمایز. اگر $\Delta = 0$ باشد، یک ریشهٔ حقیقی تکراری (سهمی مماس بر محور $x$) و اگر $\Delta \lt 0$ باشد، هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد (سهمی محور $x$ را قطع نمیکند).
سوال ۲: چرا تغییر علامت $a$ جهت سهمی را عوض میکند؟
پاسخ: تابع درجه دوم یک چندجملهای است که برای مقادیر بزرگ $|x|$، جملهٔ $ax^2$ غالب میشود. اگر $a$ مثبت باشد، $f(x)$ به سمت $+\infty$ میل میکند (باز شدن به بالا) و اگر $a$ منفی باشد، به سمت $-\infty$ میل میکند (باز شدن به پایین).
سوال ۳: چگونه میتوان از روی نمودار سهمی، علامت ضریب $a$ و مقدار $c$ را تشخیص داد؟
پاسخ: با نگاه به جهت بازشدگی: سهمی رو به بالا یعنی $a \gt 0$ و رو به پایین یعنی $a \lt 0$. همچنین نقطهٔ برخورد با محور عمودی ($y$) همان $c$ است. بنابراین اگر نمودار محور $y$ را بالای مبدأ قطع کند، $c \gt 0$ و اگر پایین مبدأ قطع کند، $c \lt 0$.
پاورقی
1 سهمی (Parabola): مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصلهٔ هر نقطه تا یک نقطهٔ ثابت (کانون) با فاصلهٔ آن تا یک خط ثابت (خط هادی) برابر است.
2 رأس (Vertex): نقطهٔ عطف سهمی که در آن سهمی تغییر جهت میدهد. کمترین یا بیشترین مقدار تابع در این نقطه رخ میدهد.
3 محور تقارن (Axis of Symmetry): خط عمودی که سهمی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم میکند و از رأس میگذرد.
4 حرکت پرتابی (Projectile Motion): حرکت یک جسم در میدان گرانش که تنها تحت تأثیر شتاب جاذبه است و مسیر آن به صورت سهمی میباشد.
5 نقطهٔ کانونی (Focus): نقطهای در داخل سهمی که پرتوهای موازی به محور سهمی پس از بازتاب به آن نقطه متمرکز میشوند.