قانون توزیعپذیری ضرب خارجی نسبت به جمع
تعریف ضرب خارجی و ویژگی جمعپذیری برداری
در فیزیک و ریاضیات دبیرستان، بردارها کمیتهایی هستند که هم اندازه و هم جهت دارند. عمل جمع برداری به روش متوازیالاضلاع انجام میشود. ضرب خارجی (حاصلضرب برداری) دو بردار، بردار سومی عمود بر صفحهٔ آن دو میسازد که جهت آن توسط قانون دست راست تعیین میشود. قانون توزیعپذیری به این معناست که اگر یک بردار در حاصلجمع دو بردار دیگر ضرب خارجی شود، نتیجه برابر است با مجموع ضرب خارجی آن بردار در هر کدام از آن دو بردار به طور جداگانه. این ویژگی هم برای ضرب خارجی از چپ و هم از راست برقرار است، اما باید به ترتیب بردارها توجه کرد زیرا ضرب خارجی جابهجایی نیست: $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a}) $.
برای نمونه فرض کنید بردار $ \vec{a} $ در راستای محور $ x $ به طول $ 2 $ و بردارهای $ \vec{b} $ و $ \vec{c} $ به ترتیب در راستای محورهای $ y $ و $ z $ با طولهای $ 3 $ و $ 4 $ باشند. آنگاه $ \vec{b} + \vec{c} $ در صفحهٔ $ yz $ قرار دارد و ضرب خارجی $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) $ در جهت محور $ x $ نخواهد بود و با مجموع $ \vec{a}\times\vec{b} $ و $ \vec{a}\times\vec{c} $ برابر است.
بررسی توزیعپذیری از چپ و راست با مثال عددی گام به گام
برای درک بهتر، دو بردار در صفحهٔ $ xy $ در نظر میگیریم. فرض کنید: $ \vec{a} = (1, 0, 0) $، $ \vec{b} = (0, 2, 0) $، $ \vec{c} = (0, -1, 0) $. ابتدا $ \vec{b} + \vec{c} = (0, 1, 0) $. سپس $ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) $ را محاسبه میکنیم که برابر است با حاصلضرب برداری $ (1,0,0) \times (0,1,0) $. با استفاده از قاعدهٔ دترمینان، نتیجه برابر $ (0,0,1) $ میشود. از طرف دیگر $ \vec{a}\times\vec{b} = (0,0,2) $ و $ \vec{a}\times\vec{c} = (0,0,-1) $. جمع این دو یعنی $ (0,0,2) + (0,0,-1) = (0,0,1) $ که با نتیجهٔ قسمت اول برابر است. پس توزیعپذیری از چپ تأیید شد. برای توزیعپذیری از راست، $ (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c} $ را با $ \vec{b}\times\vec{c} $ مقایسه کنید.
| عبارت | نتیجه (مختصات) | وضعیت برابری |
|---|---|---|
| $ \vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c}) $ | $ (0,0,1) $ | مرجع |
| $ \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c} $ | $ (0,0,1) $ | برابر |
| $ (\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} $ | $ (0,0,-1) $ | مرجع |
| $ \vec{a}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{c} $ | $ (0,0,-1) $ | برابر |
کاربرد در فیزیک دبیرستان: گشتاور نیرو و حرکت زاویهای
یکی از مهمترین کاربردهای ضرب خارجی و قانون توزیعپذیری آن، محاسبهٔ گشتاور نیرو ($ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $) است. اگر چند نیرو به یک نقطه از جسم وارد شوند، برآیند گشتاور برابر است با گشتاور حاصل از برآیند نیروها. به عبارت دیگر $ \vec{r} \times (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) = \vec{r} \times \vec{F}_1 + \vec{r} \times \vec{F}_2 $. این ویژگی به دانشآموزان اجازه میدهد بدون محاسبهٔ برآیند نیروها، گشتاور کل را از جمع گشتاورهای هر نیرو به دست آورند.
مثال عملی: شخصی آچار را در راستای محور $ x $ به طول $ 0.5 $ متر گرفته و دو نیرو در نقطهٔ انتهایی آچار وارد میکند: $ \vec{F}_1 = (0, 10, 0) $ نیوتن و $ \vec{F}_2 = (0, -4, 0) $ نیوتن. بردار مکان $ \vec{r} = (0.5, 0, 0) $. گشتاور حاصل از هر نیرو به ترتیب $ (0,0,5) $ و $ (0,0,-2) $ نیوتن متر است. مجموع آنها $ (0,0,3) $ و با گشتاور حاصل از نیروی برآیند $ \vec{F}_1+\vec{F}_2=(0,6,0) $ که برابر $ (0,0,3) $ است، یکسان میباشد. این یعنی قانون توزیعپذیری مستقیماً در محاسبات مهندسی کاربرد دارد.
چالشهای مفهومی دربارهٔ ضرب خارجی و جمع
۱) چرا ضرب خارجی جابهجایی پذیر نیست اما توزیعپذیری دارد؟
ضرب خارجی به دلیل ماهیت برداری و جهت عمودی که قانون دست راست تعیین میکند، خاصیت جابهجایی ندارد و $ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} $. اما توزیعپذیری یک ویژگی خطی است و برای هر عملگر دوعملوندی که به جمع خطی حساس باشد، میتواند برقرار باشد. ضرب خارجی نسبت به جمع هر دو ورودی خود خطی است (در ورودی اول و دوم به طور جداگانه خطی است).
۲) آیا توزیعپذیری برای ضرب خارجی بردارهای همراستا نیز کار میکند؟
بله. اگر دو بردار همراستا باشند، حاصلضرب خارجی آنها بردار صفر است. برای مثال $ \vec{b} $ و $ \vec{c} $ هر دو در جهت $ x $ باشند، آنگاه $ \vec{a} \times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} $ و همچنین $ \vec{a}\times\vec{b} = \vec{0} $ و $ \vec{a}\times\vec{c} = \vec{0} $، پس تساوی برقرار است. بنابراین قانون محدودیتی ندارد.
۳) اگر به جای ضرب خارجی از ضرب داخلی استفاده کنیم، آیا شکل توزیعپذیری تغییر میکند؟
ضرب داخلی نیز توزیعپذیر است: $ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} $. تفاوت اصلی در نتیجه است: ضرب داخلی یک عدد (نردهای) میدهد، اما ضرب خارجی یک بردار. هر دو از قانون توزیع پیروی میکنند، ولی خواص جابهجایی متفاوت است (ضرب داخلی جابهجایی دارد، ضرب خارجی پادجابهجایی).
جمعبندی
پاورقی
1 ضرب خارجی (Cross Product): عملیات دودویی بین دو بردار در فضای سه بعدی که نتیجه آن برداری عمود بر صفحهٔ دو بردار اولیه با اندازهای برابر مساحت متوازیالاضلاع ساخته شده توسط آن دو بردار است.
2 قانون دست راست (Right‑Hand Rule): قاعدهای برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب خارجی: اگر انگشتان دست راست از جهت بردار اول به سمت بردار دوم خم شوند، شست جهت بردار حاصلضرب را نشان میدهد.
3 گشتاور (Torque): کمیتی برداری که تمایل یک نیرو به چرخاندن یک جسم حول یک محور را نشان میدهد و برابر است با $ \vec{r} \times \vec{F} $.
