عمود بودن ضرب خارجی: بردار a×b بر هر دو بردار a و b عمود است (a.(a×b)=0 و b.(a×b)=0).

ویژگی عمود بودن ضرب خارجی: اثبات $ \vec{a} \times \vec{b} $ بر هر دو بردار $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $

۱. تعریف ضرب خارجی و نمادگذاری

در ریاضیات و فیزیک، برای دو بردار $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $ در فضای سه‌بعدی، ضرب خارجی¹ به صورت بردار جدیدی تعریف می‌شود که اندازه آن برابر مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته شده توسط دو بردار و جهت آن عمود بر صفحهٔ حاوی آن دو بردار است. اگر $ \theta $ زاویهٔ بین دو بردار باشد، اندازهٔ بردار حاصل برابر است با:

جهت این بردار از قانون دست راست پیروی می‌کند: اگر انگشتان دست راست را از $ \vec{a} $ به سمت $ \vec{b} $ بچرخانید، شست جهت $ \vec{a} \times \vec{b} $ را نشان می‌دهد. به همین دلیل ضرب خارجی خاصیت جابه‌جایی ندارد و $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a}) $ است.

۲. مفهوم عمود بودن دو بردار از طریق ضرب نقطه‌ای

دو بردار عمود هستند اگر ضرب نقطه‌ای (داخلی)² آنها برابر صفر باشد. به عبارت دیگر، بردارهای $ \vec{u} $ و $ \vec{v} $ عمودند اگر و فقط اگر:

این ویژگی ابزار قدرتمندی برای اثبات عمود بودن $ \vec{a} \times \vec{b} $ نسبت به $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $ فراهم می‌کند. در ادامه با نوشتن مؤلفه‌ای این بردارها، تساوی‌های صفر را به دست می‌آوریم.

۳. اثبات تحلیلی عمود بودن با استفاده از مؤلفه‌ها

فرض کنید $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ و $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $. ضرب خارجی آنها مطابق دترمینان نمادین زیر محاسبه می‌شود:

حال ضرب نقطه‌ای $ \vec{a} $ را در $ \vec{a} \times \vec{b} $ محاسبه می‌کنیم:

با گسترش عبارات داریم:

$ = a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2 + a_2 a_3 b_1 - a_2 a_1 b_3 + a_3 a_1 b_2 - a_3 a_2 b_1 $

جملات $ a_1 a_2 b_3 $ و $ - a_2 a_1 b_3 $ یکدیگر را حذف می‌کنند (زیرا $ a_1 a_2 = a_2 a_1 $). همچنین $ - a_1 a_3 b_2 $ با $ + a_3 a_1 b_2 $ حذف می‌شود و $ a_2 a_3 b_1 $ با $ - a_3 a_2 b_1 $ حذف می‌گردد. در نتیجه حاصل برابر صفر است:

به همین ترتیب می‌توان نشان داد $ \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 $ (تمرین مشابه). بنابراین بردار حاصل از ضرب خارجی بر هر دو بردار اولیه عمود است.

۴. کاربرد عملی: گشتاور نیرو و میدان مغناطیسی

در فیزیک، گشتاور نیرو³ نسبت به یک نقطه به صورت $ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $ تعریف می‌شود که در آن $ \vec{r} $ بردار مکان نقطهٔ اثر نیرو و $ \vec{F} $ بردار نیرو است. گشتاور همیشه بر صفحهٔ دوران عمود است. همچنین نیروی وارد بر بار متحرک در میدان مغناطیسی به صورت $ \vec{F} = q \, \vec{v} \times \vec{B} $ داده می‌شود که در آن $ \vec{v} $ سرعت بار و $ \vec{B} $ میدان مغناطیسی است. این نیرو همیشه عمود بر سرعت و میدان است که باعث حرکت دایره‌ای بار می‌شود. ویژگی عمود بودن ضرب خارجی در این قوانین اساسی نقشی کلیدی دارد.

۵. چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ ضرب خارجی (Cross Product): عملگر دودویی بین دو بردار در فضای سه‌بعدی که خروجی آن بردار عمود بر صفحهٔ شامل دو بردار اولیه است.

² ضرب نقطه‌ای یا داخلی (Dot Product): حاصلضرب اندازهٔ دو بردار در کسینوس زاویهٔ بین آنها که عددی اسکالر است و برای تعیین عمود بودن (نتیجه صفر) به کار می‌رود.

³ گشتاور نیرو (Torque): تمایل یک نیرو به چرخاندن یک جسم حول یک محور که برابر حاصلضرب خارجی بردار مکان و بردار نیرو است.