فرمول مؤلفهای ضرب خارجی: روش محاسبهٔ بردار عمود بر دو بردار
آشنایی با ضرب خارجی و مؤلفههای آن
در فیزیک و ریاضیات دبیرستان، گاهی نیاز به بردار عمود بر دو بردار دیگر داریم. ضرب خارجی (یا ضرب برداری) دو بردار $ \mathbf{a} $ و $ \mathbf{b} $ که با نماد $ \times $ نشان داده میشود، چنین بردار عمودی را میسازد. اگر $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ و $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ باشند، فرمول مؤلفهای ضرب خارجی به صورت زیر است:
نکته مهم این است که ترتیب بردارها تأثیر میگذارد: $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = - (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $. به عبارت دیگر ضرب خارجی خاصیت جابجایی ندارد. برای درک بهتر، هر مؤلفه را بررسی میکنیم. مؤلفه اول ($ x $) از تفریق حاصلضرب مؤلفه دومِ $ \mathbf{a} $ در مؤلفه سومِ $ \mathbf{b} $ منهای مؤلفه سومِ $ \mathbf{a} $ در مؤلفه دومِ $ \mathbf{b} $ به دست میآید. دو مؤلفه دیگر نیز با چرخش حلقوی شاخصها ساخته میشوند.
مثال عملی فرض کنید $ \mathbf{a} = (2, 0, -1) $ و $ \mathbf{b} = (1, 3, 4) $. طبق فرمول داریم: مؤلفه اول = $ (0)(4) - (-1)(3) = 0 + 3 = 3 $، مؤلفه دوم = $ (-1)(1) - (2)(4) = -1 - 8 = -9 $، مؤلفه سوم = $ (2)(3) - (0)(1) = 6 - 0 = 6 $. بنابراین $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (3, -9, 6) $. میتوان راستیآزمایی کرد که این بردار هم بر $ \mathbf{a} $ و هم بر $ \mathbf{b} $ عمود است (حاصل ضرب نقطهای3 با هر دو بردار صفر میشود).
| ویژگی | ضرب داخلی (نقطهای) | ضرب خارجی (برداری) |
|---|---|---|
| نوع نتیجه | عددی (نردهای) | برداری |
| نماد | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ |
| فرمول مؤلفهای | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ | $ (a_2b_3 - a_3b_2,\ ...) $ |
| تعبیر هندسی | اندازهٔ تصویر یک بردار روی بردار دیگر | مساحت متوازیالاضلاع و بردار عمود |
تعبیر هندسی: بردار عمود و مساحت
اندازه (طول) بردار حاصل از ضرب خارجی برابر است با مساحت متوازیالاضلاعی که دو بردار $ \mathbf{a} $ و $ \mathbf{b} $ دو ضلع مجاور آن را میسازند. یعنی $ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \,\|\mathbf{b}\| \sin\theta $ که در آن $ \theta $ زاویه بین دو بردار است. همچنین جهت $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ از قانون دست راست پیروی میکند: اگر انگشتان دست راست را از $ \mathbf{a} $ به سمت $ \mathbf{b} $ بچرخانید، شست عمود بر صفحه را نشان میدهد. فرمول مؤلفهای این ویژگی را بهطور خودکار تضمین میکند.
برای نمونه، دو بردار یکهٔ دستگاه مختصات استاندارد را در نظر بگیرید: $ \mathbf{i} = (1,0,0) $ و $ \mathbf{j} = (0,1,0) $. طبق فرمول داریم: $ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = ( (0)(0)-(0)(1),\ (0)(0)-(1)(0),\ (1)(1)-(0)(0) ) = (0,0,1) = \mathbf{k} $. همینطور $ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} $ و $ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} $. این روابط پایهای دستگاه راستگرد را نشان میدهند.
کاربرد عملی: گشتاور نیرو و میدان مغناطیسی
در فیزیک دبیرستان، گشتاور نیرو ($ \boldsymbol{\tau} $) نسبت به یک نقطه برابر است با $ \mathbf{r} \times \mathbf{F} $ که در آن $ \mathbf{r} $ بردار مکان نقطهٔ اثر نیرو و $ \mathbf{F} $ بردار نیرو است. فرض کنید میلهای به طول $ 2 $ متر در صفحهٔ افق قرار دارد و نیروی $ \mathbf{F} = (0, 0, 5) $ نیوتون در انتهای آن با بردار مکان $ \mathbf{r} = (2, 0, 0) $ وارد میشود. گشتاور را محاسبه میکنیم: $ \mathbf{r} \times \mathbf{F} = (0\times5 - 0\times0,\ 0\times0 - 2\times5,\ 2\times0 - 0\times0) = (0, -10, 0) $. این گشتاور در راستای منفی محور $ y $ است و اندازه آن $ 10 $ نیوتون·متر میباشد. به همین شکل، نیروی لورنتس4 در میدان مغناطیسی به صورت $ \mathbf{F} = q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B} $ نوشته میشود که مستقیماً از فرمول مؤلفهای استفاده میکند.
روش گامبهگام محاسبه با جدول حافظهای
برای جلوگیری از اشتباه، بسیاری از دانشآموزان از روش تعیینکننده ماتریسی استفاده میکنند. ضرب خارجی برابر است با تعیینکنندهٔ ماتریس $ 3\times3 $ زیر:
که با بسط ساروس به دست میآید. مراحل:
- ردیف اول: بردارهای یکه $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $
- ردیف دوم: مؤلفههای $ \mathbf{a} $ یعنی $ a_1, a_2, a_3 $
- ردیف سوم: مؤلفههای $ \mathbf{b} $ یعنی $ b_1, b_2, b_3 $
سپس مؤلفه $ \mathbf{i} $ برابر $ a_2b_3 - a_3b_2 $، مؤلفه $ \mathbf{j} $ برابر $ -(a_1b_3 - a_3b_1) = a_3b_1 - a_1b_3 $ و مؤلفه $ \mathbf{k} $ برابر $ a_1b_2 - a_2b_1 $ میشود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: اگر دو بردار موازی باشند، زاویهٔ بین آنها $ 0^\circ $ یا $ 180^\circ $ است. در فرمول اندازه $ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta $، مقدار $ \sin 0^\circ = \sin 180^\circ = 0 $ میشود. طبق فرمول مؤلفهای نیز اگر $ \mathbf{b} = \lambda \mathbf{a} $، هر سه جمله تفریق به صفر میرسند.
جمعبندی
پاورقی
1 بردار یکه (Unit Vector): بردار با طول یک که جهت یک بردار معین را نشان میدهد.
2 دستگاه مختصات راستگرد (Right-handed Coordinate System): دستگاهی که در آن رابطهٔ $ \mathbf{i}\times\mathbf{j} = \mathbf{k} $ برقرار است.
3 ضرب نقطهای (Dot Product): حاصلضرب داخلی دو بردار که عددی نردهای است و به صورت $ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ محاسبه میشود.
4 نیروی لورنتس (Lorentz Force): نیروی وارد بر بار الکتریکی متحرک در میدان مغناطیسی که از رابطهٔ $ \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B} $ به دست میآید.