ضرب خارجی (a×b) در فضای سهبعدی
تفاوت ضرب داخلی و خارجی؛ چرا حاصل یکی عدد و دیگری بردار است؟
در فیزیک و ریاضیات دبیرستان، دو نوع ضرب برداری مهم وجود دارد: ضرب داخلی (نقطهای) و ضرب خارجی (چلیپی). ضرب داخلی که با a·b نشان داده میشود، عددی است برابر با اندازه بردار اول ضرب در اندازه بردار دوم ضرب در کسینوس زاویه بین آنها. اما ضرب خارجی a×b در فضای سهبعدی تعریف میشود و حاصل آن یک بردار جدید است. این تفاوت بنیادی، کاربردهای متفاوتی برای هرکدام ایجاد میکند. برای نمونه، کار انجامشده توسط نیرو از ضرب داخلی و گشتاور نیرو از ضرب خارجی به دست میآید.
تعریف ضرب خارجی با استفاده از دترمینان و بردارهای یکه
برای محاسبه ضرب خارجی دو بردار a = (a₁, a₂, a₃) و b = (b₁, b₂, b₃) در فضای سهبعدی، از فرمول دترمینان زیر استفاده میشود:
گسترش این دترمینان به روش زیر انجام میشود:
در عبارت بالا، i, j, k بردارهای یکه در جهت محورهای x, y, z هستند. توجه کنید که جزء دوم (مربوط به j) با علامت منفی نوشته میشود که از قاعده کلی مینورها در دترمینان ناشی میشود.
گامهای محاسبه ضرب خارجی به همراه مثال عددی
برای درک بهتر، مراحل زیر را طی میکنیم. فرض کنید دو بردار داریم:
برای محاسبه a×b یعنی (2,3,1) و (4,1,5) مراحل گام به گام:
- جزء i: (a₂ b₃ - a₃ b₂) = (3×5 - 1×1) = 15 - 1 = 14
- جزء j: با علامت منفی - (a₁ b₃ - a₃ b₁) = - (2×5 - 1×4) = - (10 - 4) = -6
- جزء k: (a₁ b₂ - a₂ b₁) = (2×1 - 3×4) = 2 - 12 = -10
بنابراین حاصل ضرب خارجی برابر است با:
برای تأیید، میتوان ضرب داخلی این بردار حاصل را با a و b محاسبه کرد که باید صفر شود (شرط عمود بودن).
| ویژگی | ضرب داخلی (نقطهای) | ضرب خارجی (چلیپی) |
|---|---|---|
| نوع حاصل | نردبانی (عدد) | برداری |
| فرمول اندازه | |a||b|cosθ | |a||b|sinθ |
| جابجاییپذیری | بله (a·b = b·a) | خیر (a×b = - b×a) |
| هندسه حاصل | تصویر یک بردار روی بردار دیگر | بردار عمود بر هر دو بردار اولیه |
کاربرد عملی ضرب خارجی در فیزیک دبیرستان: گشتاور و میدان مغناطیسی
یکی از مهمترین کاربردهای ضرب خارجی، محاسبه گشتاور (τ) است. اگر نیروی F به نقطهای که بردار مکان آن نسبت به محور دوران r است وارد شود، گشتاور برابر است با τ = r × F. جهت گشتاور (طبق قانون دست راست) جهت چرخش را مشخص میکند.
کاربرد دیگر در مغناطیس است: نیروی وارد بر بار متحرک q با سرعت v در میدان مغناطیسی B به صورت F = q (v × B) محاسبه میشود. همچنین در هندسه، اندازه بردار حاصل از ضرب خارجی |a×b| برابر با مساحت متوازیالاضلاعی است که دو بردار a و b آن را ساختهاند.
چالشهای مفهومی در ضرب خارجی
۱. چرا ضرب خارجی در فضای دوبعدی تعریف نمیشود؟
پاسخ: در فضای دوبعدی، بردار عمود بر دو بردار (که هر دو در صفحه هستند) باید در راستای عمود بر آن صفحه (بعد سوم) قرار گیرد. از آنجا که فضای دوبعدی چنین جهتی را ندارد، حاصل ضرب خارجی در دو بعد یک بردار با درجه آزاد صفر (نردبانی) میشود که معمولاً آن را اسکالر در نظر میگیرند. در حقیقت ضرب خارجی واقعی تنها در فضای سهبعدی و هفتبعدی (به شکل خاص) تعریف شده است.
۲. چگونه میتوان جهت بردار حاصل از ضرب خارجی را بدون محاسبه تعیین کرد؟
پاسخ: با استفاده از قانون دست راست. انگشتان دست راست را در جهت بردار اول (a) گرفته، سپس به سمت بردار دوم (b) میچرخانید. شست عمود بر کف دست، جهت a×b را نشان میدهد. برعکس این قانون، برای b×a جهت مخالف خواهد بود.
۳. آیا اندازه ضرب خارجی همیشه مثبت است؟ مفهوم صفر شدن آن چیست؟
پاسخ: اندازه |a×b| = |a||b| sinθ همواره نامنفی است. اگر این اندازه صفر شود، یعنی sinθ=0 که نتیجه میدهد زاویه بین دو بردار ۰ یا ۱۸۰ درجه است؛ یعنی دو بردار موازی یا پادموازی هستند. در این حالت بردار حاصل ضرب خارجی، بردار صفر خواهد بود.
جمعبندی
پاورقی
1 ضرب خارجی (Cross Product): عمل دودویی بین دو بردار در فضای سهبعدی که خروجی آن برادری عمود بر هر دو ورودی است.
2 دترمینان (Determinant): تابعی که به یک ماتریس مربعی، عددی نسبت میدهد و در اینجا برای محاسبه ضرب خارجی استفاده شده است.
3 بردارهای یکه (Unit Vectors): بردارهایی با اندازه یک که جهت محورهای مختصات را نشان میدهند (i, j, k).
4 قانون دست راست (Right-Hand Rule): قاعده یادآوری برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب خارجی.
5 گشتاور (Torque): کمیت برداری که تمایل یک نیرو به چرخاندن جسم حول یک محور را نشان میدهد.