ضریب تصویر (r) در بردارها: از تعریف تا کاربرد در تصویر قائم
تعریف ضریب تصویر (r) و ارتباط آن با تصویر قائم
فرض کنید دو بردار a و b در صفحه یا فضا داریم. تصویر قائم1 بردار a روی بردار b، خود یک بردار است که در امتداد b قرار دارد. این بردار تصویر را میتوان به صورت $ r \, \mathbf{b} $ نوشت. عدد r دقیقاً همان ضریب تصویر است که نشان میدهد تصویر a روی b چند برابر بردار b میشود.
رابطه اصلی برای محاسبه ضریب تصویر از ضرب داخلی2 دو بردار به دست میآید:
در این فرمول، $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ حاصل ضرب داخلی دو بردار است و $ \|\mathbf{b}\| $ اندازه یا طول بردار b را نشان میدهد. توجه کنید که اگر b یک بردار یکه3 باشد (یعنی طول آن برابر 1)، آنگاه ضریب تصویر به سادگی برابر $ r = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ خواهد شد.
نقش ضریب تصویر در محاسبه مؤلفه یک بردار در امتداد بردار دیگر
یکی از کاربردهای اصلی ضریب تصویر، تجزیه یک بردار به دو مؤلفهٔ موازی و عمود بر یک جهت مشخص است. مؤلفهٔ موازی بردار a در امتداد b برابر است با $ r \, \mathbf{b} $ و مؤلفهٔ عمود نیز از تفاضل $ \mathbf{a} - r \, \mathbf{b} $ به دست میآید.
برای نمونه، در فیزیک هنگام برخورد یک توپ به سطح شیبدار، یا در محاسبه کار نیرو در امتداد جابجایی، از همین ضریب استفاده میشود. اگر نیروی F و جابجایی d داده شده باشد، ضریب تصویر r به ما نشان میدهد که چند برابرِ d در امتداد نیرو مؤثر است. این مفهوم در درس کار و انرژی پایه یازدهم نیز دیده میشود.
جدول مقایسه ضریب تصویر در حالتهای مختلف زاویه بین دو بردار
| زاویه $\theta$ بین a و b | حاصل ضرب داخلی $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ | ضریب تصویر r | معنای هندسی |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ (همجهت) | $ \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| $ | $ \|\mathbf{a}\| / \|\mathbf{b}\| $ | تصویر در راستای مثبت b |
| $90^\circ$ (عمود) | 0 | 0 | تصویر صفر است (بدون مؤلفه موازی) |
| $180^\circ$ (خلافجهت) | $ -\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| $ | $ -\|\mathbf{a}\| / \|\mathbf{b}\| $ | تصویر در جهت مخالف b |
| $\theta$ حاده (کوچکتر از 90 درجه) | مثبت | مثبت | تصویر همجهت با b |
| $\theta$ منفرجه (بزرگتر از 90 درجه) | منفی | منفی | تصویر خلاف جهت b |
کاربرد عملی: محاسبه کار نیرو در فیزیک دبیرستان
در کتاب فیزیک پایه دهم، کار نیروی ثابت به صورت $ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} $ تعریف میشود. اگر نیرو با جابجایی زاویه $\theta$ بسازد، آنگاه $ W = \|\mathbf{F}\| \|\mathbf{d}\| \cos\theta $. حال ضریب تصویر نیرو روی جابجایی برابر است با:
و مؤلفهٔ نیرو در امتداد جابجایی برابر $ r \, \mathbf{d} $ است. بنابراین کار را میتوان به صورت $ W = (r \, \mathbf{d}) \cdot \mathbf{d} = r \|\mathbf{d}\|^2 $ نیز نوشت که همارزی دو تعریف را نشان میدهد.
مثال عددی: نیروی $ \mathbf{F} = 5\mathbf{i} $ نیوتن و جابجایی $ \mathbf{d} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} $ متر. ابتدا جابجایی در امتداد $ \mathbf{F} $ نیست. ضریب تصویر $ r = \frac{5\times2 + 0\times2}{(2^2+2^2)} = \frac{10}{8}=1.25 $. بنابراین مؤلفهٔ نیرو در امتداد جابجایی برابر $ 1.25 \times (2\mathbf{i}+2\mathbf{j}) = 2.5\mathbf{i}+2.5\mathbf{j} $ نیوتن است.
چالشهای مفهومی پیرامون ضریب تصویر
خیر. ضریب تصویر r یک عدد مقیاس است که به نسبت طول تصویر به طول b اشاره دارد. اگر b خیلی کوتاه باشد، r میتواند عددی بزرگ باشد، اما این به معنی بزرگتر بودن طول تصویر از a نیست. در واقع طول تصویر همیشه از طول a کوچکتر یا مساوی است (نابرابری کوشی-شوارتز4).
زیرا ما به دنبال عددی هستیم که در $ r \, \mathbf{b} $ ضرب شود. اگر به جای $ \|\mathbf{b}\|^2 $ از $ \|\mathbf{b}\| $ استفاده کنیم، رابطهٔ $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta $ با $ r \|\mathbf{b}\| $ هماهنگ نمیشد. مخرج $ \|\mathbf{b}\|^2 $ باعث میشوند که حاصل $ r $ مستقل از طول b نباشد، بلکه نشاندهنده ضریب مقیاس واقعی باشد.
خیر. ضریب تصویر برای هر فضای ضرب داخلی (از جمله سهبعدی و حتی فضای توابع) معتبر است. در سه بعد، فرمول کاملاً مشابه است و تصویر قائم یک بردار روی بردار دیگر در امتداد خط راستای همان بردار دیگر قرار میگیرد. در ریاضیات بالاتر، این مفهوم پایهٔ تصویرسازی متعامد5 و روش کمترین مربعات است.
جمعبندی
پاورقی
1 تصویر قائم (Orthogonal Projection): برداری که از انداختن عمود از انتهای بردار اول بر راستای بردار دوم حاصل میشود.
2 ضرب داخلی (Dot Product): عملی بین دو بردار که حاصل آن یک عدد حقیقی است و برابر $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta $ میباشد.
3 بردار یکه (Unit Vector): بردار با اندازهٔ دقیقاً 1 که جهت خاصی را نشان میدهد.
4 نابرابری کوشی-شوارتز (Cauchy–Schwarz Inequality): قضیهای که میگوید $ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| $.
5 تصویرسازی متعامد (Orthogonal Projection): فرایند نگاشت یک بردار روی زیرفضایی به طوری که بردار خطا عمود بر آن زیرفضا باشد.