تصویر قائم بردار a بر امتداد بردار b: از مفهوم سایه تا فرمول ریاضی
۱. تعریف تصویر قائم و ارتباط آن با ضرب داخلی
در فضای برداری، وقتی دو بردار a و b داریم، گاهی نیاز است مؤلفهٔ بردار a را در راستای بردار b پیدا کنیم. این مؤلفه که به آن تصویر قائم1 میگویند، برداری است همراستا با b و اندازهاش برابر است با طول «سایهٔ» a روی خط راستای b. فرض کنید نور عمودی از بالا به بردار a بتابد؛ سایهای که روی خط راستای b میافتد، همان تصویر قائم است.
برای محاسبهٔ این تصویر، از ضرب داخلی2 استفاده میشود. ضرب داخلی دو بردار، حاصلضرب اندازههای آنها در کسینوس زاویهٔ بینشان است: $ a \cdot b = |a| |b| \cos \theta $. اگر بخواهیم تصویر قائم بردار a روی راستای b را به صورت a′ = r b بنویسیم، مقدار r (یک عدد نردهای) نشاندهندهٔ نسبت اندازهٔ تصویر به اندازهٔ b است. با استفاده از ضرب داخلی داریم:
این فرمول تضمین میکند که a′ همراستا با b است و تفاضل a - a′ بر b عمود میباشد (همان شرط تصویر قائم).
۲. محاسبه گامبهگام با مثال عددی
برای درک بهتر، مثال زیر را گام به گام حل میکنیم. فرض کنید دو بردار داریم:
- a = (3, 4)
- b = (1, 2)
مرحله ۱: محاسبه ضرب داخلی a·b: $ a \cdot b = (3)(1) + (4)(2) = 3 + 8 = 11 $.
مرحله ۲: محاسبه مربع اندازهٔ بردار b: $ |b|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 $.
مرحله ۳: محاسبه ضریب r: $ r = \frac{11}{5} = 2.2 $.
مرحله ۴: تشکیل بردار تصویر قائم: $ a' = 2.2 \times (1, 2) = (2.2, 4.4) $.
اکنون میتوان بررسی کرد که a - a' = (0.8, -0.4) بر b عمود است: $(0.8, -0.4) \cdot (1, 2) = 0.8 - 0.8 = 0$. در نتیجه تصویر به درستی محاسبه شده است.
| بردار | مؤلفهها | توضیح |
|---|---|---|
| a | (3, 4) | بردار اصلی |
| b | (1, 2) | امتداد مورد نظر برای تصویر |
| a′ | (2.2, 4.4) | تصویر قائم (همراستا با b) |
۳. کاربرد عملی: تجزیه نیرو در صفحهٔ شیبدار
در فیزیک دبیرستان، وقتی جسمی روی سطح شیبدار قرار دارد، نیروی وزن w را به دو مؤلفه تجزیه میکنیم: یکی موازی سطح و دیگری عمود بر سطح. اگر بردار واحدِ موازی سطح را b در نظر بگیریم، مؤلفهٔ موازی وزن دقیقاً همان تصویر قائم بردار w بر امتداد b است. برای نمونه، فرض کنید زاویهٔ شیب $ \theta = 30^\circ $ و اندازهٔ وزن $ |w| = 10 \, N $. بردار واحد موازی سطح: $ b = (\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = (0.866, 0.5) $ و بردار وزن: $ w = (0, -10) $ (جهت رو به پایین). تصویر قائم $ w' = \frac{w \cdot b}{|b|^2} b $ که در اینجا $ |b|^2 = 1 $ و $ w \cdot b = (0)(0.866) + (-10)(0.5) = -5 $، پس $ w' = -5 (0.866, 0.5) = (-4.33, -2.5) $. اندازهٔ این مؤلفه $ 5 \, N $ است که همان $ |w| \sin \theta $ نمیباشد (توجه: در اینجا b واحد نیست، اما محاسبه دقیق است). این مثال نشان میدهد که فرمول تصویر قائم به سادگی در مسائل فیزیک قابل استفاده است.
۴. چالشهای مفهومی
پرسش ۱: چرا در فرمول تصویر قائم از مربع اندازهٔ b استفاده میشود نه خود اندازهٔ b؟
پاسخ: ضریب $ r = \frac{a \cdot b}{|b|^2} $ به گونهای طراحی شده که $ a' = r b $ دقیقاً شرط عمود بودن $ a - a' \perp b $ را برآورده کند. از $ (a - r b) \cdot b = 0 $ نتیجه میشود $ a \cdot b - r |b|^2 = 0 $ که به $ r = \frac{a \cdot b}{|b|^2} $ میانجامد. اگر به جای $ |b|^2 $ از $ |b| $ استفاده شود، رابطهٔ عمودی برقرار نمیشود.
پرسش ۲: آیا تصویر قائم همیشه کوچکتر از خود بردار a است؟
پاسخ: خیر. اندازهٔ تصویر قائم برابر $ |a'| = |r| |b| = \frac{|a \cdot b|}{|b|} = |a| |\cos \theta| $ است. این مقدار از $ |a| $ کوچکتر یا مساوی است، زیرا $ |\cos \theta| \le 1 $. وقتی زاویه صفر باشد، تصویر با خود بردار برابر میشود و وقتی $ \theta = 90^\circ $، تصویر بردار صفر است. بنابراین تصویر قائم هرگز بزرگتر از بردار اصلی نمیشود.
پرسش ۳: اگر بردار b صفر باشد چه اتفاقی میافتد؟
پاسخ: در صورتی که $ b = 0 $، امتداد معنی ندارد و تصویر قائم تعریف نمیشود. مخرج فرمول $ |b|^2 $ صفر میشود. بنابراین در کاربردها، همیشه فرض میشود b ناصفر است. به همین دلیل معمولاً از بردار واحد برای امتداد استفاده میکنند تا از این مشکل جلوگیری شود.
۵. جدول مقایسه: تصویر قائم در حالتهای مختلف زاویه
| زاویهٔ θ بین a و b | ضریب r | ویژگی تصویر a′ |
|---|---|---|
| $ 0^\circ $ | $ \frac{|a|}{|b|} $ | همجهت با b، اندازه $|a|$ |
| $ 0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ $ | مثبت | همجهت با b، اندازه $|a|\cos\theta$ |
| $ 90^\circ $ | $ 0 $ | بردار صفر (تصویر نقطه) |
| $ 90^\circ \lt \theta \le 180^\circ $ | منفی | خلاف جهت b، اندازه $|a||\cos\theta|$ |
۶. جمعبندی
پاورقی
1 تصویر قائم (Orthogonal Projection): برداری بر روی یک خط یا راستا که حاصل عمود کردن بردار اصلی بر آن خط است و با شرط عمود بودن بردار اختلاف به دست میآید.
2 ضرب داخلی (Dot Product): عملگری جبری بین دو بردار که حاصل آن عددی نردهای برابر با حاصلضرب اندازههای بردارها در کسینوس زاویهٔ بین آنهاست و با $ a \cdot b $ نمایش داده میشود.
