مؤلفه (پروژکشن) بردار: اندازهٔ افتادگی یک بردار در راستای بردار دیگر
۱. تعریف مفهومی: مؤلفه یا همان «سایهٔ» بردار
فرض کنید دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ در صفحه یا فضا داریم. گاهی میخواهیم بدانیم بردار $\vec{b}$ چقدر در جهت بردار $\vec{a}$ امتداد دارد. به بیان سادهتر، اگر از انتهای $\vec{b}$ خطی عمود بر راستای $\vec{a}$ رسم کنیم، فاصلهٔ نقطهٔ برخورد تا مبدأ، همان مؤلفه (پروژکشن) خواهد بود. این مفهوم مانند انداختن سایهٔ $\vec{b}$ روی خط راستای $\vec{a}$ است.
برای درک بهتر، فرض کنید میلهای به طول $5$ متر در جهت شمال شرق قرار دارد. اگر نور خورشید از بالا بتابد (عمود بر صفحهٔ زمین)، سایهٔ میله روی خط شمال شرق، همان اندازهٔ واقعی میله خواهد بود. اما اگر نور از جهت دیگری بتابد، سایه ممکن است کوتاهتر شود. در ریاضیات، «جهت تابش نور» را با بردار $\vec{a}$ و «میله» را با بردار $\vec{b}$ نشان میدهیم. آنچه مهم است، اندازهٔ سایه (عدد یا بردار) است که با کمک ضرب داخلی محاسبه میشود.
۲. دو نوع مؤلفه: اسکالر (عددی) و برداری
وقتی از مؤلفهٔ یک بردار روی بردار دیگر صحبت میکنیم، میتوان دو مفهوم متفاوت داشت:
- مؤلفهٔ اسکالر (عدد) که فقط اندازهٔ افتادگی را نشان میدهد و میتواند مثبت یا منفی باشد. اگر زاویهٔ بین دو بردار از $90^\circ$ بیشتر شود، این مؤلفه منفی میشود (یعنی بردار در خلاف جهت بردار مرجع افتاده است).
- مؤلفهٔ برداری که هم اندازه و هم جهت دارد. این بردار در امتداد بردار $\vec{a}$ قرار میگیرد و اندازهٔ آن برابر مقدار مطلق مؤلفهٔ اسکالر است.
فرمول مؤلفهٔ اسکالر $\vec{b}$ روی $\vec{a}$ به صورت زیر است:
و مؤلفهٔ برداری (یعنی بردار پرژکشن) برابر است با:
توجه کنید که در فرمول دوم، مقدار داخل پرانتز یک عدد (اسکالر) است و در $\vec{a}$ ضرب میشود تا بردار حاصل در همان راستای $\vec{a}$ قرار گیرد.
| ویژگی | مؤلفهٔ اسکالر | مؤلفهٔ برداری |
|---|---|---|
| نوع کمیت | عدد (میتواند منفی باشد) | بردار (همیشه در جهت $\vec{a}$ یا خلاف آن) |
| فرمول اصلی | $|\vec{b}| \cos \theta$ | $(|\vec{b}| \cos \theta) \hat{a}$ |
| خروجی | یک عدد تنها | یک بردار با طول و جهت مشخص |
۳. گامبهگام محاسبه با یک مثال عددی
فرض کنید $\vec{a} = (3 , 4)$ و $\vec{b} = (2 , 1)$. میخواهیم مؤلفهٔ برداری $\vec{b}$ را روی $\vec{a}$ محاسبه کنیم.
- ضرب داخلی را مییابیم:$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2)+(4)(1)=6+4=10$.
- اندازهٔ $\vec{a}$ را حساب میکنیم:$|\vec{a}| = \sqrt{3^2+4^2}= \sqrt{9+16}= \sqrt{25}=5$.
- مؤلفهٔ اسکالر:$\text{comp}_{\vec{a}} \vec{b} = \frac{10}{5}=2$. این عدد یعنی بردار $\vec{b}$ در جهت $\vec{a}$ به اندازهٔ $2$ واحد افتاده است.
- مؤلفهٔ برداری: ابتدا $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} = \frac{10}{25}=0.4$. سپس $\text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = 0.4 \times (3,4) = (1.2 , 1.6)$.
میتوانیم درستی پاسخ را بررسی کنیم: بردار $(1.2,1.6)$ موازی با $(3,4)$ است (چون $1.2/3 = 0.4$ و $1.6/4=0.4$) و اندازهٔ آن برابر $\sqrt{1.2^2+1.6^2}= \sqrt{1.44+2.56}= \sqrt{4}=2$ است که با مؤلفهٔ اسکالر هماهنگی دارد.
۴. کاربرد عملی: محاسبهٔ کار نیرو در فیزیک
یکی از مهمترین کاربردهای مؤلفه بردار در فیزیک، محاسبهٔ کار است. هنگامی که نیروی ثابت $\vec{F}$ بر جسمی وارد میشود و آن جسم جا به جایی $\vec{d}$ پیدا میکند، کار انجام شده برابر است با حاصلضرب مؤلفهٔ نیرو در جهت جابهجایی در اندازهٔ جابهجایی:
معادل دیگر آن، ضرب مؤلفهٔ اسکالر نیرو روی جابهجایی در اندازهٔ جابهجایی است: $W = (\text{comp}_{\vec{d}} \vec{F}) \times |\vec{d}|$. اگر نیرو عمود بر جابهجایی باشد ($\theta=90^\circ$)، مؤلفهٔ اسکالر صفر میشود و کار انجام نمیشود (مثل حرکت ماهواره به دور زمین که نیروی گرانش عمود بر مسیر لحظهای است).
مثال عددی: نیروی $\vec{F} = (5,0)$ نیوتن (در جهت افقی) به جعبهای وارد میشود و جعبه جابهجایی $\vec{d} = (3,4)$ متر (مورب) دارد. مؤلفهٔ نیرو در جهت جابهجایی برابر است با $\frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{15}{5}=3$ نیوتن. بنابراین کار برابر $3 \times 5 = 15$ ژول است که همان ضرب داخلی مستقیم $(5,0)\cdot(3,4)=15$ را میدهد.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پرسش ۱: آیا مؤلفهٔ اسکالر همیشه مثبت است؟
خیر. اگر زاویهٔ بین دو بردار بیشتر از $90^\circ$ باشد، $\cos \theta$ منفی میشود و در نتیجه مؤلفهٔ اسکالر منفی خواهد بود. برای نمونه، $\vec{a}=(1,0)$ و $\vec{b}=(-2,0)$ را در نظر بگیرید. زاویهٔ $180^\circ$ است و $\text{comp}_{\vec{a}} \vec{b} = -2$ که یعنی بردار $\vec{b}$ در خلاف جهت $\vec{a}$ افتاده است.
پرسش ۲: چه فرقی بین ضرب داخلی و مؤلفهٔ اسکالر وجود دارد؟
ضرب داخلی یک عدد است که برابر $|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$ میشود، در حالی که مؤلفهٔ اسکالر $\vec{b}$ روی $\vec{a}$ برابر $|\vec{b}|\cos\theta$ است. به عبارت دیگر، مؤلفهٔ اسکالر حاصلضرب داخلی تقسیم بر $|\vec{a}|$ است. ضرب داخلی به اندازهٔ هر دو بردار بستگی دارد، اما مؤلفهٔ اسکالر فقط به اندازهٔ بردار هدف ($\vec{b}$) و زاویه بستگی دارد (نسبت به اندازهٔ بردار مرجع حساس نیست).
پرسش ۳: آیا مؤلفهٔ برداری روی بردار صفر تعریف شده است؟
خیر. اگر $\vec{a} = \vec{0}$ باشد، اندازهٔ آن صفر است و در فرمول $|\vec{a}|$ در مخرج ظاهر میشود، بنابراین تقسیم بر صفر معنا ندارد. از نظر هندسی نیز بردار صفر جهت مشخصی ندارد تا بتوان «افتادگی» روی آن را تعریف کرد.
۶. جمعبندی
۷. پاورقی
1 ضرب داخلی (Dot Product): عملی بین دو بردار که نتیجه آن یک عدد اسکالر است و برابر $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ میباشد.
2 بردار یکه (Unit Vector): بردار با اندازهٔ یک که جهت معینی را نشان میدهد. برای بردار $\vec{a}$، بردار یکه در همان جهت برابر $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ است.
