تصویر قائم بردار b بر امتداد بردار a: مؤلفه برداری در راستای a
۱. تعریف هندسی تصویر قائم بردار
فرض کنید دو بردار $ \mathbf{a} $ و $ \mathbf{b} $ در صفحه یا فضا داریم. اگر از نوک بردار $ \mathbf{b} $ عمودی بر خط راستای $ \mathbf{a} $ فرود آوریم، نقطه برخورد با آن خط، انتهای برداری است که «تصویر قائم» (یا همان مؤلفه برداری) $ \mathbf{b} $ بر امتداد $ \mathbf{a} $ نامیده میشود. این تصویر را با $ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} $ نشان میدهند و برداری است همراستا با $ \mathbf{a} $ که اندازه آن برابر مؤلفه اسکالر1$ \mathbf{b} $ در راستای $ \mathbf{a} $ است.
برای درک بهتر، یک مثال ساده در نظر بگیرید: فرض کنید بردار $ \mathbf{a} = (3,0) $ در راستای محور افق و بردار $ \mathbf{b} = (2,5) $ باشد. تصویر قائم $ \mathbf{b} $ بر راستای $ \mathbf{a} $ برابر با $ (2,0) $ خواهد بود، زیرا فقط مؤلفه افقی $ \mathbf{b} $ در راستای $ \mathbf{a} $ قرار دارد.
۲. شرط عمود بودن و استخراج فرمول تصویر قائم
نقطه شروع برای یافتن تصویر قائم، فرض وجود بردار $ \mathbf{r} $ همجهت با $ \mathbf{a} $ است به طوری که $ \mathbf{r} = t \mathbf{a} $. میخواهیم $ t $ چنان باشد که بردار $ \mathbf{b} - \mathbf{r} $ بر $ \mathbf{a} $ عمود باشد. شرط عمود بودن دو بردار، برابر صفر بودن ضرب داخلی2 آنهاست:
با گسترش عبارت:
از آنجا که $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2 $ (مجذور اندازه بردار $ \mathbf{a} $)، مقدار $ t $ به دست میآید:
بنابراین تصویر قائم (مؤلفه برداری) به صورت زیر خواهد بود:
نکته کلیدی این فرمول نشان میدهد که تصویر قائم، همواره در راستای بردار $ \mathbf{a} $ بوده و اندازه آن برابر مؤلفه اسکالر $ \mathbf{b} $ در راستای $ \mathbf{a} $ ضرب در بردار یکه3$ \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} $ است.
۳. جدول مقایسه: تصویر قائم در حالتهای مختلف زاویه
| زاویه بین a و b | نشانه a·b | جهت تصویر قائم نسبت به a | مثال عددی (a=(2,0) |
|---|---|---|---|
| $ 0^\circ $ | مثبت | همجهت | (3,0) |
| $ 90^\circ $ | صفر | بردار صفر | (0,0) |
| $ 180^\circ $ | منفی | خلاف جهت | (-4,0) |
۴. مثال گامبهگام عددی
مثال: فرض کنید $ \mathbf{a} = (1, 2) $ و $ \mathbf{b} = (3, 1) $. میخواهیم تصویر قائم $ \mathbf{b} $ بر امتداد $ \mathbf{a} $ را محاسبه کنیم.
گام اول: محاسبه ضرب داخلی $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $.
گام دوم: محاسبه مجذور اندازه $ \mathbf{a} $.
گام سوم: محاسبه ضریب $ t = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2} $.
گام چهارم: تصویر قائم برابر است با $ t \mathbf{a} = 1 \times (1,2) = (1,2) $.
یعنی در این مثال، تصویر قائم $ \mathbf{b} $ بر امتداد $ \mathbf{a} $ دقیقاً خود بردار $ \mathbf{a} $ است. میتوانیم عمود بودن $ \mathbf{b} - (1,2) = (2,-1) $ را بر $ (1,2) $ بررسی کنیم: $ (2)(1)+(-1)(2)=2-2=0 $ که شرط عمود بودن را تأیید میکند.
۵. کاربرد عملی: تجزیه نیرو در فیزیک
در فیزیک، هنگام برخورد یک جسم به سطح شیبدار، وزن جسم ($ \mathbf{W} $) را به دو مؤلفه تجزیه میکنیم: یکی در امتداد سطح (مؤلفه مماسی) و دیگری عمود بر سطح. اگر بردار واحد امتداد سطح را $ \mathbf{u} $ در نظر بگیریم، مؤلفه مماسی نیرو دقیقاً برابر تصویر قائم $ \mathbf{W} $ بر امتداد $ \mathbf{u} $ است.
فرض کنید سطح شیبدار با زاویه $ \theta $ نسبت به افق قرار دارد و وزن جسم به سمت پایین است. با استفاده از فرمول تصویر قائم، میتوان مؤلفهای که باعث حرکت جسم روی سطح میشود را به سادگی محاسبه کرد. این مفهوم در حل مسائل دینامیک و استاتیک بسیار پرکاربرد است.
۶. چالشهای مفهومی
سؤال ۱: آیا تصویر قائم $ \mathbf{b} $ بر امتداد $ \mathbf{a} $ همیشه کوچکتر از $ \mathbf{b} $ است؟
پاسخ: خیر. اندازه تصویر قائم برابر $ |t| \|\mathbf{a}\| = \frac{|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|}{\|\mathbf{a}\|} $ است که میتواند از $ \|\mathbf{b}\| $ بزرگتر نباشد، زیرا از قانون مثلثی و نابرابری کوشی-شوارتز4 داریم $ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| $. بنابراین همواره $ \|\text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}\| \le \|\mathbf{b}\| $ و تساوی فقط وقتی رخ میدهد که $ \mathbf{b} $ با $ \mathbf{a} $ موازی باشد.
سؤال ۲: اگر $ \mathbf{a} = \mathbf{0} $ (بردار صفر) باشد، تکلیف چیست؟
پاسخ: راستای بردار صفر تعریف نشده است. بنابراین تصویر قائم بر امتداد بردار صفر معنی ندارد. در فرمول نیز مخرج کسر صفر میشود. در چنین مواردی باید از بردار یکه یا راستای مشخص استفاده کرد.
سؤال ۳: تفاوت تصویر قائم (projection) با مؤلفه اسکالر (component) چیست؟
پاسخ: مؤلفه اسکالر فقط یک عدد است که اندازه تصویر قائم را با در نظر گرفتن جهت (مثبت یا منفی) نشان میدهد: $ \text{comp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|} $. اما تصویر قائم یک بردار است: $ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \text{comp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} \times \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} $. به عبارت دیگر، مؤلفه اسکالر ضریب تصویر قائم در بردار یکه است.
جمعبندی: تصویر قائم بردار $ \mathbf{b} $ بر امتداد بردار $ \mathbf{a} $، برداری همراستا با $ \mathbf{a} $ است که از انداختن عمود از نوک $ \mathbf{b} $ بر خط راستای $ \mathbf{a} $ به دست میآید. شرط عمود بودن $ \mathbf{b} - t\mathbf{a} $ بر $ \mathbf{a} $ منجر به فرمول $ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a} $ میشود. این مفهوم در تجزیه نیروها، یافتن فاصله نقطه از خط و بسیاری از مسائل هندسه تحلیلی کاربرد دارد.
پاورقی
1 مؤلفه اسکالر (Scalar Component): عددی حقیقی که اندازه طرح یک بردار بر روی جهت معین را همراه با علامت (مثبت برای همجهت و منفی برای خلاف جهت) نشان میدهد.
2 ضرب داخلی (Dot Product): عملی بین دو بردار که حاصل آن یک عدد حقیقی است و برابر $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta $ میباشد، که $ \theta $ زاویه بین دو بردار است.
3 بردار یکه (Unit Vector): بردار با اندازه $ 1 $ که جهت یک امتداد را نشان میدهد و از تقسیم یک بردار غیرصفر بر اندازه آن به دست میآید.
4 نابرابری کوشی-شوارتز (Cauchy-Schwarz Inequality): نامساوی $ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| $ که در آن تساوی فقط برای بردارهای موازی برقرار است.
