ضرب داخلی بردار با خودش: رابطه a·a = |a|² و کاربردهای آن در هندسه و فیزیک
۱. تعریف ضرب داخلی و حالت ویژه خودضرب
ضرب داخلی1 دو بردار مانند $ \mathbf{a} $ و $ \mathbf{b} $ در فضای دوبعدی به صورت $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y $ تعریف میشود. اگر بردار $ \mathbf{a} $ را در خودش ضرب کنیم، خواهیم داشت:
اما از قضیه فیثاغورس میدانیم که اندازه بردار $ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $. بنابراین:
این رابطه نشان میدهد که مجذور طول بردار حاصل جمع مربعات مؤلفههای آن است. در حالت سهبعدی نیز به همین ترتیب: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = |\mathbf{a}|^2 $.
۲. اثبات گامبهگام با استفاده از مؤلفهها
فرض کنید بردار $ \mathbf{a} $ در صفحه $ xy $ دارای مؤلفههای $ (a_x, a_y) $ است. گامهای اثبات به صورت زیر است:
- گام ۱: ضرب داخلی را طبق تعریف جبری مینویسیم: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = a_x \times a_x + a_y \times a_y $.
- گام ۲: هر جمله را ساده میکنیم: $ a_x^2 + a_y^2 $.
- گام ۳: اندازه بردار را از رابطه $ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $ میآوریم.
- گام ۴: دو طرف رابطه قبلی را به توان $ 2 $ میرسانیم: $ |\mathbf{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2 $.
- گام ۵: با مقایسه گام ۲ و گام ۴ نتیجه میشود: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 $.
برای درک بهتر، یک مثال عددی میزنیم: فرض کنید $ \mathbf{a} = (3, 4) $. آنگاه $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $. از طرفی اندازه بردار برابر $ |\mathbf{a}| = \sqrt{9+16} = 5 $ و مجذور آن نیز $ 25 $ است. مشاهده میشود که دو طرف با هم برابرند.
| بعد فضا | فرمول a·a | رابطه با اندازه |
|---|---|---|
| دو بعدی (xy) | $ a_x^2 + a_y^2 $ | $ |\mathbf{a}|^2 $ |
| سه بعدی (xyz) | $ a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 $ | $ |\mathbf{a}|^2 $ |
| n بعدی (فضای اقلیدسی) | $ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 $ | $ |\mathbf{a}|^2 $ |
۳. کاربرد عملی: محاسبه انرژی جنبشی و قاعده کسینوسها
در فیزیک، انرژی جنبشی یک ذره با جرم $ m $ و سرعت برداری $ \mathbf{v} $ برابر است با $ K = \frac{1}{2} m |\mathbf{v}|^2 $. با استفاده از رابطه ضرب داخلی، میتوان نوشت $ K = \frac{1}{2} m (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) $. این شکل از انرژی جنبشی در محاسبات برداری بسیار مفید است.
همچنین در هندسه، قاعده کسینوسها2 برای مثلثی با اضلاع $ a, b, c $ و زاویهٔ بین $ a $ و $ b $ نوشته میشود: $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta $. اگر دو بردار $ \mathbf{u} $ و $ \mathbf{v} $ را در نظر بگیریم، آنگاه $ |\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} - 2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} $. با جایگذاری $ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos \theta $ به همان قاعده کسینوسها میرسیم؛ که نشان میدهد ضرب داخلی یک بردار با خودش پایهگذار این قاعده مهم است.
مثال عملی فرض کنید یک متحرک روی صفحه از نقطه $ A(1,2) $ به $ B(4,6) $ حرکت میکند. بردار جابجایی $ \mathbf{d} = (3,4) $ است. با ضرب داخلی $ \mathbf{d}\cdot\mathbf{d} = 9+16=25 $، مجذور مسافت طی شده را بدست میآوریم. بنابراین مسافت واقعی $ 5 $ واحد است. این روش از محاسبه مستقیم ریشهٔ مجموع مربعها جدا نیست، اما در مسائل برداری با مؤلفههای نمادین بسیار کارآمدتر است.
۴. چالشهای مفهومی و پاسخ به سؤالات رایج
۱. آیا ضرب داخلی یک بردار با خودش همیشه مثبت است؟
بله. چون مجموع مربعات مؤلفهها (که هر مربع نامنفی است) همواره بزرگتر یا مساوی صفر است. صفر فقط زمانی رخ میدهد که بردار صفر باشد ($ \mathbf{a} = \mathbf{0} $). در این حالت $ |\mathbf{a}| = 0 $ و رابطه برقرار است.
۲. آیا این رابطه فقط برای بردارهای در صفحه دکارتی معتبر است؟
خیر. این رابطه در هر فضای برداری با ضرب داخلی استاندارد (فضای ضرب داخلی3) برقرار است. برای بردارهای مختلط یا فضاهای تابعی نیز اگر ضرب داخلی تعریف شده باشد، خودضرب برابر مجذور نرم بردار خواهد بود. برای مثال در فضای توابع، $ \langle f, f \rangle = \int f(x)^2 dx $ برابر مجذور نرم $ L^2 $ تابع است.
۳. چه تفاوتی بین $ \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} $ و $ \mathbf{a}^2 $ در جبر ماتریسی وجود دارد؟
در جبر برداری معمول، $ \mathbf{a}^2 $ تعریف نشده است (چون ضرب برداری به دو نوع داخلی و خارجی تقسیم میشود). اما نماد $ \mathbf{a}^2 $ گاهی به معنی $ \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} $ به کار میرود که حاصل آن یک عدد است نه بردار. در مقابل، در جبر ماتریسی، $ A^2 $ یعنی ضرب ماتریس در خودش که یک ماتریس است.
۵. جمعبندی
پاورقی
1 ضرب داخلی (Dot Product): عمل دوتایی بین دو بردار که حاصل آن یک عدد نردبانی است و برابر با مجموع حاصلضرب مؤلفههای متناظر در دستگاه مختصات متعامد یکه میباشد.
2 قاعده کسینوسها (Law of Cosines): قضیهای در مثلثات که رابطه بین اضلاع یک مثلث و کسینوس یکی از زاویههای آن را بیان میکند: $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $.
3 فضای ضرب داخلی (Inner Product Space): فضای برداری که روی آن یک عملگر ضرب داخلی تعریف شده باشد که دارای ویژگیهای مثبتمعینی، متقارن و خطی در مؤلفه اول است.