بردار یکهٔ k : بردار واحد در جهت مثبت محور z
تعریف و نمادگذاری بردار یکهٔ k
در ریاضیات و فیزیک، برای نمایش جهت یک محور در فضا از بردارهایی به نام «بردارهای یکه» یا «بردارهای واحد» استفاده میکنیم. بردار یکه1 برداری است که اندازهٔ آن دقیقاً برابر با 1 واحد باشد. در دستگاه مختصات سهبعدی راستگرد (دستگاه دکارتی) سه بردار یکهٔ اصلی به نامهای i، j و k تعریف میشوند که به ترتیب جهتهای مثبت محور x، محور y و محور z را نشان میدهند.
بردار یکهٔ k به طور خاص مختصات زیر را در دستگاه استاندارد دارد:
این بدان معناست که بردار k هیچ مؤلفهای در جهت x و y ندارد و تنها در جهت مثبت محور z به اندازهٔ 1 واحد کشیده شده است. اندازه (بزرگی) این بردار نیز طبق رابطهٔ زیر محاسبه میشود:
به همین دلیل به آن «بردار یکه» میگوییم. برای تأکید بر واحدی بودن، اغلب روی حرف k یک کلاه (هت) میگذارند: \hat{k} یا در نوشتههای چاپی به صورت \mathbf{k} نمایش داده میشود.
ویژگیهای جبری و هندسی بردار یکهٔ k
بردار یکهٔ k همراه با دو بردار یکهٔ دیگر (i و j) یک پایهٔ متعامد یکه2 برای فضای سهبعدی تشکیل میدهد. این یعنی:
- هر بردار در فضا را میتوان به صورت یکتایی به صورت ترکیب خطی از i، j و k نوشت: $ \mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k} $
- ضرب داخلی (نقطهای) هر دو بردار متفاوت از این مجموعه برابر صفر است: $ \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = 0 $، $ \mathbf{i} \cdot \mathbf{k} = 0 $، $ \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = 0 $
- ضرب داخلی هر بردار با خودش برابر 1 است: $ \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1 $
ویژگی مهم دیگر، رفتار بردار k در ضرب خارجی (ضرب برداری) است. در یک دستگاه راستگرد، روابط زیر برقرار هستند:
$ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} $
$ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} $
این روابط در محاسبهٔ گشتاور، نیروی لورنتس3 و سایر کمیتهای برداری در فیزیک بسیار کاربرد دارند. همچنین اگر بردار k در ضرب خارجی با خودش شرکت کند، نتیجه بردار صفر است: $ \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0} $
مقایسه بردارهای یکه i، j و k
| نام بردار | جهت | مختصات (x,y,z) | کاربرد نمونه |
|---|---|---|---|
| i | محور x مثبت | (1,0,0) | حرکت افقی شرقی |
| j | محور y مثبت | (0,1,0) | حرکت افقی شمالی |
| k | محور z مثبت | (0,0,1) | ارتفاع، عمق، جهت عمودی |
کاربردهای عملی بردار یکهٔ k در فیزیک و مهندسی
بردار یکهٔ k در بسیاری از مسائل دنیای واقعی نقش اساسی دارد. در زیر به چند کاربرد مشخص اشاره میکنیم:
- نمایش میدان الکتریکی یکنواخت: اگر میدان الکتریکی یکنواختی در جهت محور z داشته باشیم، آن را به صورت $ \mathbf{E} = E_0 \,\hat{k} $ مینویسیم.
- نیروی وزن در مجاورت سطح زمین: اگر محور z را رو به بالا بگیریم، نیروی وزن یک جسم به سمت پایین است و به صورت $ \mathbf{W} = -mg \,\hat{k} $ نوشته میشود.
- گشتاور نیرو در صفحهٔ افقی: اگر نیرویی در صفحهٔ xy وارد شود، گشتاور آن معمولاً در جهت عمودی (موازی با \hat{k} یا -\hat{k}) خواهد بود.
- حرکت پرتابی در سه بعد: بردار مکان پرتابه را میتوان به صورت $ \mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} $ نوشت که جملهٔ z(t)\mathbf{k} تغییر ارتفاع را نشان میدهد.
چالشهای مفهومی
خیر. جهت مثبت محور z قراردادی است و بسته به مسئله میتواند به سمت بالا، پایین، شمال، یا هر جهت دیگری انتخاب شود. آنچه اهمیت دارد سازگاری با دو محور دیگر و استفاده از دستگاه راستگرد است. بردار k همیشه جهت مثبت محور z را نشان میدهد، اما خودِ محور z میتواند هر جهتی در فضا داشته باشد.
در دستگاه مختصات دکارتی استاندارد، بله. اما در دستگاههای مختصات دیگر مانند کروی یا استوانهای، بردارهای یکه در هر نقطه جهتهای متفاوتی دارند و لزوماً ثابت نیستند. در آن دستگاهها نیز بردار یکه در جهت z (که اغلب \hat{z} نامیده میشود) همان نقش \hat{k} را در دستگاه دکارتی ایفا میکند.
ضرب بردار k در عدد منفی مانند -1 بردار جدیدی به اندازهٔ 1 ولی در جهت مخالف محور z مثبت میدهد. به این بردار، بردار یکه در جهت منفی محور z میگویند و آن را با $ -\hat{k} $ نشان میدهند. این بردار در مواردی مانند نمایش وزن (که رو به پایین است) کاربرد دارد.
جمعبندی
پاورقی
1 بردار یکه (Unit Vector): برداری با اندازه یا طول دقیقاً برابر با 1 که فقط جهت یک کمیت برداری را نشان میدهد و بزرگی آن مستقل از واحدهای اندازهگیری است.
2 پایهٔ متعامد یکه (Orthonormal Basis): مجموعهای از بردارها که همگی طول واحد دارند و هر دو بردار متفاوت در آن بر هم عمود هستند (ضرب داخلی شان صفر است).
3 نیروی لورنتس (Lorentz Force): نیروی وارد بر ذرهٔ باردار متحرک در میدان الکترومغناطیسی که به صورت $ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) $ نوشته میشود. بردار یکهٔ k در تحلیل مؤلفهٔ عمودی این نیرو کاربرد دارد.