بردار یکه (برداری به طول یک)؛ راهنمای جهت در ریاضی و فیزیک
بردار چه تفاوتی با عدد معمولی دارد؟
در ریاضی و فیزیک، کمیتها به دو دستهٔ نردهای1 و برداری2 تقسیم میشوند. کمیت نردهای فقط دارای اندازه است (مانند جرم، دما و انرژی) و با یک عدد به همراه یکا بیان میشود. اما کمیت برداری هم اندازه دارد و هم جهت. برای مثال، «جابجایی» یک بردار است: اگر بگوییم «5 متر به سمت شرق»، هم مقدار (5) مهم است و هم جهت (شرق).
برای نمایش بردارها از پیکان استفاده میکنیم. طول پیکان نشاندهندهٔ اندازه یا بزرگی بردار است و جهت پیکان، جهت بردار را مشخص میکند. گاهی اوقات نیاز داریم تنها «جهت» یک بردار را به دست آوریم، بدون آنکه اندازهٔ آن در محاسبات بعدی اختلال ایجاد کند. اینجاست که مفهوم «بردار یکه» وارد میشود.
تعریف دقیق بردار یکه و نمادگذاری
بردار یکه به بردارى گفته میشود که اندازهٔ آن دقیقاً برابر 1 واحد باشد. اگر بردار $\vec{v}$ را داشته باشیم، بردار یکه در همان جهت با نماد $\hat{v}$ (بخوانید «وی-هت» یا «وی-کلاهدار») نمایش داده میشود. منظور از «هت» (کلاه کوچک) روی حرف، همین است که بردار مورد نظر یکه است.
روش محاسبه: برای به دست آوردن بردار یکهٔ یک بردار دلخواه، کافی است هر مؤلفهٔ آن بردار را بر اندازهٔ کل بردار تقسیم کنیم. به زبان فرمول:
که در آن $\lVert \vec{v} \rVert$ اندازه یا بزرگی بردار $\vec{v}$ است.
مثال گام به گام: فرض کنید بردار $\vec{v} = (3, 4)$ را داریم. اندازهٔ آن از رابطهٔ فیثاغورس به دست میآید: $\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. حال برای یافتن بردار یکه، هر مؤلفه را بر 5 تقسیم میکنیم: $\hat{v} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = (0.6, 0.8)$. اگر اندازهٔ $\hat{v}$ را محاسبه کنیم: $\sqrt{(0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$. مشاهده میکنید که اندازهٔ بردار یکه دقیقاً 1 است.
بردارهای یکهٔ پایه در دستگاه مختصات
در دستگاه مختصات دکارتی دو بعدی، دو بردار یکهٔ بسیار مهم وجود دارند: بردار یکه در راستای محور $x$ که آن را $\hat{i}$ (یا $\vec{i}$) مینامند و بردار یکه در راستای محور $y$ که آن را $\hat{j}$ مینامند. در فضای سه بعدی، بردار یکهٔ سوم یعنی $\hat{k}$ را نیز داریم که در راستای محور $z$ است. این بردارها نسبت به یکدیگر عمودند و هر بردار دلخواه را میتوان به صورت ترکیب خطی از آنها نوشت:
که $v_x , v_y , v_z$ مؤلفههای بردار در راستای هر محور هستند. به این ترتیب، هر بردار به سادگی با سه عدد و سه بردار یکهٔ پایه نمایش داده میشود.
| ویژگی | بردار معمولی (مانند $\vec{v}$) | بردار یکه (مانند $\hat{v}$) |
|---|---|---|
| اندازه (بزرگی) | هر عدد نامنفی (مثلاً 5 یا 12.7) | دقیقاً برابر 1 |
| کاربرد اصلی | نمایش کامل یک کمیت برداری (اندازه + جهت) | فقط نمایش جهت (بدون تأثیر اندازه) |
| روش محاسبه از روی بردار دیگر | —— | تقسیم هر مؤلفه بر اندازهٔ بردار اصلی |
کاربرد عملی: تجزیهٔ نیرو در سطح شیبدار
فرض کنید جعبهای به جرم $m$ روی سطح شیبداری با زاویهٔ $\theta$ نسبت به افق قرار دارد. نیروی وزن $\vec{W}$ رو به پایین است. برای تحلیل حرکت جعبه، بهتر است نیروی وزن را به دو مؤلفهٔ موازی و عمود بر سطح تجزیه کنیم. برای این کار نیاز به بردار یکه در راستای سطح شیبدار و بردار یکهٔ عمود بر آن داریم.
اگر بردار یکهٔ موازی با سطح را $\hat{t}$ (تانژانسیل) و بردار یکهٔ عمود بر سطح را $\hat{n}$ (نرمال) بنامیم، نیروی وزن به صورت زیر نوشته میشود:
در اینجا $W = mg$ اندازهٔ وزن است. جزء اول (با $\hat{t}$) باعث حرکت جعبه به سمت پایین شیب میشود و جزء دوم (با $\hat{n}$) توسط نیروی عمودی سطح خنثی میشود. همانطور که میبینید، بردارهای یکه به ما امکان میدهند نیروها را در جهتهای دلخواه تجزیه کنیم.
مثال عددی: اگر $m = 2 \text{ kg}$ ، $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ و $\theta = 30^\circ$ باشد، اندازهٔ مؤلفهٔ موازی برابر است با $mg \sin 30^\circ = 2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8 \text{ N}$ که دقیقاً در راستای بردار یکهٔ $\hat{t}$ است.
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پرسش ۱: آیا دو بردار یکه که جهتهای متفاوتی دارند، میتوانند با هم جمع شوند و حاصل آن دوباره یک بردار یکه باشد؟
پاسخ: خیر، حاصل جمع دو بردار یکه (با جهات متفاوت) معمولاً برداری با اندازهٔ کوچکتر از 2 و بزرگتر از 0 است. برای اینکه حاصل جمع یک بردار یکه شود، باید زاویهٔ بین دو بردار یکه، $120^\circ$ باشد و اندازهٔ هر دو یکی باشد. در غیر این صورت، اندازهٔ حاصل جمع برابر با $\sqrt{2+2\cos\theta}$ خواهد بود که فقط برای $\theta = 120^\circ$ مقدار 1 میدهد.
پرسش ۲: آیا بردار صفر (با اندازهٔ صفر) میتواند یک بردار یکه داشته باشد؟
پاسخ: خیر. بردار صفر جهت مشخصی ندارد و اندازهٔ آن صفر است. برای ساختن بردار یکه باید بردار را بر اندازهٔ خودش تقسیم کنیم. از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده است، بردار یکه برای بردار صفر وجود ندارد. به همین دلیل در فیزیک معمولاً از بردار یکه فقط برای جهتهای مشخص استفاده میشود.
پرسش ۳: ضرب داخلی (نقطهای) دو بردار یکهٔ عمود بر هم چقدر است؟
پاسخ: ضرب داخلی دو بردار یکه برابر با کسینوس زاویهٔ بین آنها است. اگر دو بردار یکه عمود بر هم باشند (زاویهٔ $90^\circ$)، ضرب داخلی آنها برابر با $\cos 90^\circ = 0$ خواهد بود. به همین دلیل بردارهای یکهٔ پایه ($\hat{i}$ و $\hat{j}$) دارای ضرب داخلی صفر هستند: $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$.
پاورقی
1 نردهای (Scalar): کمیتی فیزیکی که فقط دارای بزرگی است و جهت ندارد. مانند جرم، دما، انرژی.
2 برداری (Vector): کمیتی فیزیکی که هم بزرگی دارد و هم جهت. مانند جابجایی، سرعت، شتاب، نیرو.
3 بردار یکه (Unit Vector): برداری که بزرگی آن دقیقاً برابر یک است و فقط جهت یک بردار خاص را نشان میدهد.
4 ضرب داخلی (Dot Product): عمل ضرب دو بردار که نتیجه آن یک عدد نردهای است. برای دو بردار $\vec{a}$ و $\vec{b}$ با زاویهٔ $\theta$ داریم: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \lVert \vec{a} \rVert \lVert \vec{b} \rVert \cos\theta$.