برآیند دو بردار: حاصل جمع دو بردار که از قرار دادن دو بردار به صورت متوازی‌الأضلاع به دست می‌آید.

برآیند دو بردار: حاصل جمع دو بردار به روش متوازی‌الأضلاع

بردار و برآیند: تعاریف پایه‌ای

بردار¹ به کمیتی گفته می‌شود که برای بیان کامل آن، هم اندازه (بزرگی) و هم جهت لازم است. در مقابل، کمیت نرده‌ای² مانند جرم یا دما فقط با یک عدد مشخص می‌شود. برای نمایش یک بردار از پیکان استفاده می‌کنیم: طول پیکان متناسب با اندازه بردار و جهت پیکان نشان‌دهنده جهت آن است. برآیند³ دو بردار به بردار حاصل از جمع آن دو بردار گفته می‌شود. اگر دو نیروی متفاوت بر یک جسم وارد شوند، اثر خالص آن‌ها معادل نیرویی است که برآیند نامیده می‌شود. روش متوازی‌الأضلاع یکی از روش‌های هندسی برای یافتن این برآیند است.

روش متوازی‌الأضلاع برای جمع دو بردار

در این روش، دو بردار را چنان از یک نقطه شروع رسم می‌کنیم که دم هر دو بردار بر هم منطبق باشد. سپس از سر هر بردار، خطی موازی با بردار دیگر رسم می‌کنیم. این خطوط یک متوازی‌الأضلاع می‌سازند. قطر متوازی‌الأضلاع که از نقطه شروع مشترک خارج می‌شود، همان بردار برآیند است. $ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} $ که در آن $ \vec{A} $ و $ \vec{B} $ دو بردار اولیه و $ \vec{R} $ بردار برآیند است.

محاسبه اندازه برآیند با استفاده از قانون کسینوس‌ها

برای دو بردار $ \vec{A} $ و $ \vec{B} $ که زاویه $ \theta $ بین آن‌ها قرار دارد، با استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث حاصل از متوازی‌الأضلاع، اندازه برآیند برابر است با: $ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta} $ در این فرمول، $ A $ و $ B $ اندازه بردارها هستند. توجه کنید که اگر زاویه بین دو بردار بیشتر از $ 90^\circ $ باشد، $ \cos\theta $ منفی شده و اندازه برآیند کاهش می‌یابد.

مثال عددی: دو نیرو با زاویه $ 60^\circ $

فرض کنید دو نیروی $ \vec{F}_1 $ با اندازه $ 6 \, N $ و $ \vec{F}_2 $ با اندازه $ 4 \, N $ بر یک نقطه اثر می‌کنند و زاویه بین آن‌ها $ 60^\circ $ است. اندازه برآیند را محاسبه کنید. گام اول: نوشتن مقادیر: $ A = 6 $، $ B = 4 $، $ \theta = 60^\circ $ و $ \cos 60^\circ = 0.5 $ گام دوم: جایگذاری در فرمول: $ R = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2 \times 6 \times 4 \times 0.5} $ گام سوم: محاسبه مرحله به مرحله: $ R = \sqrt{36 + 16 + 24} = \sqrt{76} $ گام چهارم: ساده‌سازی: $ R = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19} \approx 8.72 \, N $ بنابراین برآیند دو نیرو تقریباً برابر $ 8.72 $ نیوتن است.

کاربرد عملی: جمع بردارهای جابجایی در مسیریابی

فرض کنید شخصی ابتدا $ 5 $ کیلومتر به سمت شرق و سپس $ 5 $ کیلومتر به سمت شمال حرکت می‌کند. با روش متوازی‌الأضلاع، بردار جابجایی خالص از مبدأ به مقصد به دست می‌آید. این دو بردار عمود بر هم هستند، بنابراین اندازه برآیند برابر است با: $ R = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \, km $ جهت برآیند نسبت به شرق: $ \alpha = \tan^{-1}(5/5) = 45^\circ $ یعنی $ 45 $ درجه شمال شرقی. این مثال نشان می‌دهد که چگونه جمع برداری با روش متوازی‌الأضلاع در مسائل روزمره مانند مسیریابی کاربرد دارد.

چالش‌های مفهومی در جمع برداری

مقایسه روش متوازی‌الأضلاع با روش مثلثی

پاورقی