مؤلفه‌های بردار در R2: اگر بردار از مبدأ شروع شود، مؤلفه‌های آن همان مختصات نقطه انتهایی است.

مؤلفه‌های بردار در R² : از مبدأ تا نقطه

۱. بردار در صفحه و شرط شروع از مبدأ

در ریاضیات، یک بردار در صفحهٔ دو بعدی (R²) کمیتی است که هم اندازه (طول) و هم جهت دارد. معمولاً بردارها را به صورت پاره‌خط جهت‌دار نشان می‌دهیم. در حالت کلی، یک بردار می‌تواند از هر نقطه‌ای از صفحه شروع شود. اما در این مقاله تأکید روی حالت خاصی است که آغاز بردار در مبدأ مختصات (نقطهٔ (0,0)) قرار دارد. در این حالت، نقطهٔ انتهایی بردار تنها چیزی است که بردار را مشخص می‌کند. به همین دلیل، به جای رسم پیکان از مبدأ به نقطهٔ P(a₁,a₂)، می‌گوییم مؤلفه‌های بردار همان مختصات a₁ و a₂ هستند و بردار را به صورت $\vec{v} = (a_1, a_2)$ می‌نویسیم.

برای نمونه، فرض کنید بردار $\vec{u}$ از مبدأ شروع شده و به نقطهٔ (3, 2) ختم می‌شود. در این صورت مؤلفه‌های آن به ترتیب برابر 3 در راستای محور x (افق) و 2 در راستای محور y (عمود) است. پس می‌نویسیم $\vec{u} = (3, 2)$. توجه کنید که اگر بردار از نقطهٔ دیگری غیر از مبدأ شروع می‌شد، برای یافتن مؤلفه‌ها باید تفاضل مختصات نقطهٔ پایان و آغاز را محاسبه می‌کردیم.

۲. نمایش جبری و اعمال روی مؤلفه‌ها

هنگامی که بردار به فرم $\vec{v} = (a_1, a_2)$ نوشته می‌شود، $a_1$ را مؤلفهٔ اول (در راستای محور x) و $a_2$ را مؤلفهٔ دوم (در راستای محور y) می‌نامیم. جمع دو بردار و ضرب یک بردار در عدد (اسکالر) به صورت مؤلفه‌ای انجام می‌شود:

• جمع: $(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+b_1, a_2+b_2)$
• ضرب در اسکالر $k$: $k \cdot (a_1, a_2) = (k a_1, k a_2)$

به عنوان مثال، اگر $\vec{v} = (4, -1)$ و $\vec{w} = (-2, 3)$، آنگاه $\vec{v} + \vec{w} = (4-2, -1+3) = (2, 2)$. همچنین $3\vec{v} = (12, -3)$. این قوانین ساده امکان انجام محاسبات برداری را بدون نیاز به رسم شکل فراهم می‌کند.

۳. اندازه، جهت و بردارهای یکه

برای بردار $\vec{v} = (a_1, a_2)$ که از مبدأ شروع می‌شود، اندازه (طول) بردار با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس به دست می‌آید:

جهت بردار معمولاً با زاویهٔ $\theta$ نسبت به محور $x$ مثبت بیان می‌شود که $\tan\theta = \frac{a_2}{a_1}$ (با در نظر گرفتن علامت مؤلفه‌ها برای تعیین ربع صحیح). همچنین بردار یکه در جهت $\vec{v}$ به صورت $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$ تعریف می‌شود و مؤلفه‌های آن برابر $(\frac{a_1}{||\vec{v}||}, \frac{a_2}{||\vec{v}||})$ هستند.

برای نمونه، بردار $\vec{v} = (3, 4)$ دارای اندازهٔ $\sqrt{9+16}=5$ و بردار یکه در جهت آن برابر $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = (0.6, 0.8)$ است. زاویهٔ آن با محور $x$ حدود $53.13$ درجه خواهد بود.

۴. کاربرد عملی: تجزیه نیروها در صفحه

یکی از مهم‌ترین کاربردهای مؤلفه‌های بردار در فیزیک و مهندسی، تجزیهٔ نیروها است. فرض کنید یک جعبه روی سطح شیب‌داری قرار دارد. نیروی وزن $\vec{W}$ عمود بر سطح نیست؛ بنابراین آن را به دو مؤلفهٔ موازی با سطح و عمود بر سطح تجزیه می‌کنیم. اگر جعبه در نقطهٔ مبدأ فرضی مختصات (برای سادگی) قرار گیرد و سطح شیب‌دار با زاویهٔ $\theta$ نسبت به افق باشد، بردار وزن $\vec{W} = (0, -mg)$ خواهد بود (اگر محور $y$ رو به بالا در نظر گرفته شود). با چرخش دستگاه مختصات به اندازهٔ $\theta$، مؤلفهٔ جدید موازی با سطح برابر $mg \sin\theta$ و مؤلفهٔ عمود برابر $mg \cos\theta$ به دست می‌آید. این مؤلفه‌ها دقیقاً همان مختصات بردار وزن در دستگاه مختصات چرخیده هستند که مبدأ آن بر روی جعبه قرار دارد. بنابراین درک مؤلفه‌های بردار از مبدأ، پایهٔ تحلیل چنین مسائلی است.

مثال روزمره دیگر: اگر در یک نقشه، خانهٔ شما در مبدأ فرض شود و مدرسه در نقطهٔ (400, 300) متری قرار داشته باشد، بردار جابه‌جایی از خانه تا مدرسه برابر $(400, 300)$ خواهد بود. فاصلهٔ مستقیم (اندازهٔ بردار) برابر $500$ متر و جهت آن به سمت شمال شرقی با زاویهٔ $\arctan(300/400) \approx 36.9^\circ$ نسبت به شرق است.

۵. چالش‌های مفهومی

۶. جمع‌بندی

پاورقی