اندازه بردار (طول بردار) : طول پارهخط جهتدار، که با |a| نشان داده میشود
تعریف هندسی و نمادگذاری اندازه بردار
در ریاضیات، بردار به عنوان پارهخط جهتدار تعریف میشود که دارای دو ویژگی اندازه (طول) و جهت است. اندازه یک بردار، فاصله بین نقطه ابتدا و نقطه انتهای آن بردار است و همواره مقداری نامنفی خواهد بود. برای نمایش اندازه بردار a از نماد قدر مطلق استفاده میشود: $|a|$. همچنین اگر بردار با دو نقطه مانند $\overrightarrow{AB}$ نشان داده شود، اندازه آن برابر طول پارهخط $AB$ است و با $|\overrightarrow{AB}|$ نمایش داده میشود.
برای درک بهتر، فرض کنید نقطه $A(1,2)$ و نقطه $B(4,6)$ در صفحه مختصات داریم. بردار $\overrightarrow{AB}$ از $A$ به $B$ رسم میشود. اندازه این بردار همان فاصله اقلیدسی1 بین دو نقطه است که با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه میشود.
فرمول محاسبه اندازه بردار در مختصات دکارتی
اگر بردار $a$ در صفحه با مولفههای $(x , y)$ داده شود، اندازه آن از رابطه زیر به دست میآید:
برای بردار در فضای سه بعدی با مولفههای $(x , y , z)$ نیز فرمول به صورت زیر گسترش مییابد:
مثال گام به گام: اندازه بردار $u = (3 , -4)$ را محاسبه کنید.
مرحله اول: مجذور مولفهها را محاسبه کنید: $3^{2}=9$ و $(-4)^{2}=16$.
مرحله دوم: حاصل را جمع کنید: $9+16=25$.
مرحله سوم: جذر بگیرید: $\sqrt{25}=5$. بنابراین $|u|=5$.
| بعد | نمایش بردار | فرمول اندازه | مثال و نتیجه |
|---|---|---|---|
| یک بعدی (خط راست) | $a = (5)$ | $|a| = |x|$ | $|a|=5$ |
| دو بعدی (صفحه) | $b = (4 , 3)$ | $|b| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ | $|b| = \sqrt{16+9}=5$ |
| سه بعدی (فضا) | $c = (2 , -1 , 2)$ | $|c| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ | $|c| = \sqrt{4+1+4}=3$ |
ویژگیهای اصلی اندازه بردار
اندازه بردار دارای ویژگیهای جبری مهمی است که در حل مسائل بسیار کاربرد دارند. مهمترین این ویژگیها عبارتند از:
- نامنفی بودن: برای هر بردار $a$ داریم $|a| \ge 0$ و $|a| = 0$ اگر و تنها اگر $a$ بردار صفر باشد.
- یکنواختی نسبت به ضرب اسکالر: اگر $k$ یک عدد حقیقی باشد، آنگاه $|k a| = |k| \cdot |a|$.
- نابرابری مثلث: برای هر دو بردار $a$ و $b$ داریم: $|a + b| \le |a| + |b|$.
- فاصله بین دو نقطه: فاصله بین نقاط $A$ و $B$ برابر است با $|\overrightarrow{AB}|$.
کاربرد عملی: محاسبه اندازه نیرو و جابجایی در فیزیک
در فیزیک، بسیاری از کمیتها مانند نیرو، سرعت، شتاب و جابجایی به صورت برداری نمایش داده میشوند. اندازه این بردارها نشاندهنده مقدار عددی آن کمیت است. برای مثال، اگر نیروی $F = (6 , 8)$ نیوتن بر یک جسم وارد شود، اندازه این نیرو برابر است با:
همچنین در مسئله جابجایی، اگر متحرکی از نقطه $A(1,1)$ به نقطه $B(4,5)$ حرکت کند، بردار جابجایی $\overrightarrow{AB} = (3 , 4)$ خواهد بود و اندازه جابجایی (مسافت مستقیم) برابر $5$ واحد است. این مفهوم در محاسبه مسیر واقعی حرکت بسیار مهم است.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر، اندازه بردار همواره مقداری نامنفی است. زیرا اندازه بردار بیانگر طول پارهخط جهتدار بوده و طول هر پارهخط همواره مثبت یا صفر است. اگر اندازه بردار صفر باشد، آن بردار، بردار صفر نامیده میشود.
پاسخ: بردار $a$ یک کمیت جهتدار شامل طول و جهت است، در حالی که $|a|$ فقط یک عدد نامنفی (اسکالر) بوده و تنها بزرگی بردار را نشان میدهد و فاقد جهت است.
پاسخ: خیر، این تساوی فقط زمانی برقرار است که دو بردار همجهت باشند (زاویه بین آنها صفر درجه). در حالت کلی، نابرابری مثلث میگوید $|a + b| \le |a| + |b|$.
پاورقی
1 فاصله اقلیدسی (Euclidean distance): فاصله مستقیم بین دو نقطه در صفحه یا فضا که با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه میشود.
2 بردار صفر (Zero vector): بردارهایی که اندازه آنها صفر است و جهت مشخصی ندارند، معمولاً با $\vec{0}$ نشان داده میشوند.
3 اسکالر (Scalar): کمیتی که فقط دارای اندازه است و جهت ندارد، مانند جرم، دما و اندازه بردار.