انتهای بردار: نقطه پایان بردار (مانند B در AB)
تعریف بردار و نقش نقطه پایان (سر بردار)
در ریاضیات و فیزیک، یک بردار کمیتی است که هم اندازه و هم جهت دارد. برای نمایش هندسی یک بردار، از پارهخط جهتداری استفاده میشود که دو نقطه مشخص دارد: نقطه ابتدا (دم) و نقطه انتها (سر). اگر بردار را با $\vec{AB}$ نشان دهیم، نقطه A ابتدا و نقطه B انتهای بردار است. به عبارت دیگر، انتهای بردار همان نقطهای است که پیکان بردار به آن اشاره میکند.
برای درک بهتر، یک مسیر مستقیم از خانه (نقطه A) تا مدرسه (نقطه B) را در نظر بگیرید. اگر مسیر را به صورت یک بردار رسم کنید، خانه نقطه شروع و مدرسه نقطه پایان بردار خواهد بود. جابجایی شما دقیقاً توسط بردار $\vec{AB}$ نشان داده میشود که در آن B نمایانگر انتهای بردار است.
تفاوت نقطه شروع (دم) و نقطه پایان (سر) بردار
در بسیاری از مسائل دبیرستان، تشخیص فرق بین نقطه ابتدا و انتهای بردار اهمیت زیادی دارد. به عنوان مثال، اگر بردار جابجایی یک متحرک از نقطه $(2,3)$ به نقطه $(5,7)$ باشد، ابتدا و انتها به ترتیب مشخص میکنند که حرکت در چه جهتی انجام شده است. اگر جای این دو نقطه عوض شود، بردار جدید $\vec{BA}$ خواهد بود که دقیقاً جهت مخالف بردار اولیه دارد.
| ویژگی | نقطه شروع (دم) | نقطه پایان (سر) |
|---|---|---|
| نماد در $\vec{AB}$ | A | B |
| نقش در جهت | آغاز جهت | نشاندهنده جهت (نوک پیکان) |
| تأثیر در معکوس کردن بردار | در $\vec{BA}$ به انتها تبدیل میشود | در $\vec{BA}$ به ابتدا تبدیل میشود |
محاسبه مؤلفههای بردار با استفاده از نقطه پایان
اگر مختصات نقطه ابتدا $A(x_1,y_1)$ و نقطه انتها $B(x_2,y_2)$ باشد، آنگاه مؤلفههای بردار $\vec{AB}$ به صورت زیر محاسبه میشوند:
به این ترتیب، نقطه انتهای بردار نقشی مستقیم در تعیین مؤلفهها دارد. برای نمونه، اگر $A(1,2)$ و $B(4,6)$ باشد، آنگاه بردار $\vec{AB}$ برابر است با $(4-1,6-2) = (3,4)$. اندازه این بردار نیز از فرمول زیر به دست میآید که وابسته به مؤلفهها (و در نتیجه وابسته به نقطه انتها) است:
در مثال بالا، اندازه بردار برابر $\sqrt{3^2+4^2}=5$ خواهد بود.
کاربرد عملی: تعیین جابجایی و نیرو در مسائل فیزیک
در فیزیک دبیرستان، هنگام تحلیل حرکت یک جسم روی صفحه، نقطه انتهای بردار جابجایی نشاندهنده موقعیت نهایی جسم نسبت به مبدأ است. به عنوان مثال، اگر اتومبیلی از نقطه A با مختصات $(0,0)$ شروع به حرکت کند و به نقطه B با مختصات $(120,50)$ برسد (مختصات بر حسب متر)، بردار جابجایی به صورت $\vec{AB} = (120,50)$ نوشته میشود. نقطه انتها (B) به تنهایی اطلاعات کاملی از جابجایی افقی و عمودی خودرو ارائه میدهد.
در مورد نیروها نیز اگر چند نیرو به یک نقطه اعمال شوند، برای محاسبه برآیند نیروها، باید انتهای هر بردار نیرو را نسبت به مبدأ مشترک مشخص کرد. برای نمونه، دو نیروی $\vec{F_1}= (3,0)$ و $\vec{F_2}= (0,4)$ که هر دو از نقطه A اعمال میشوند، نقطه انتهای بردار برآیند در مختصات $(3,4)$ قرار خواهد گرفت که نشاندهنده نیروی خالص وارد بر جسم است.
چالشهای مفهومی
خیر، وابسته به جهت بردار است. اگر بردار در جهت منفی محور xها باشد، $x_2 \lt x_1$ خواهد بود. برای مثال در بردار $\vec{AB}$ با $A(5,2)$ و $B(2,2)$، مختصات انتها کوچکتر از ابتدا است اما بردار همچنان معتبر است.
در این حالت بردار صفر نامیده میشود ($\vec{AA} = \vec{0}$). اندازه آن صفر و جهت آن تعریف نشده است. نقطه پایان در این حالت تفاوتی با نقطه شروع ندارد.
خیر، اندازه بردار به تفاضل مختصات نقطه انتها و ابتدا بستگی دارد. بدون دانستن نقطه شروع، نقطه انتها به تنهایی نمیتواند اندازه یا جهت بردار را مشخص کند. به همین دلیل است که بردارها معمولاً با ذکر هر دو نقطه (A و B) تعریف میشوند.
جمعبندی
پاورقی
2 نقطه شروع (Initial Point): نقطه مبدأ یا دم بردار که با حرف اول در نماد $\vec{AB}$ (یعنی A) نشان داده میشود.
3 نقطه پایان (Terminal Point): نقطه انتها یا سر بردار که محل قرارگیری نوک پیکان است و با حرف دوم در نماد $\vec{AB}$ (یعنی B) نمایش داده میشود.
4 مؤلفههای بردار (Vector Components): تصویر بردار روی محورهای مختصات که از تفریق مختصات نقطه پایان از نقطه شروع به دست میآید.