ویژگی معادلهٔ سهمی از نظر درجه: درجهٔ ۱ نسبت به یک متغیر و درجهٔ ۲ نسبت به متغیر دیگر
۱. تحلیل درجهٔ معادله و تشخیص سهمی عمودی یا افقی
در دستگاه مختصات دکارتی، هر معادلهٔ درجه دومی که دارای یکی از شکلهای زیر باشد، یک سهمی را نمایش میدهد:
- سهمی عمودی (بازشونده به بالا یا پایین): معادله نسبت به x درجهٔ 2 و نسبت به y درجهٔ 1 دارد. شکل کلی: $y = ax^{2} + bx + c$ که $a \neq 0$.
- سهمی افقی (بازشونده به راست یا چپ): معادله نسبت به y درجهٔ 2 و نسبت به x درجهٔ 1 دارد. شکل کلی: $x = ay^{2} + by + c$ که $a \neq 0$.
مثال علمی ۱: معادلهٔ $y = 2x^{2} - 4x + 1$ را در نظر بگیرید. در این معادله توان x برابر 2 و توان y برابر 1 است. بنابراین سهمی عمودی با بازشدگی به سمت بالا (چون $a = 2 \gt 0$) میباشد.
۲. تبدیل معادلهٔ ضمنی به فرم استاندارد (صریح)
گاهی معادلهٔ سهمی به صورت ضمنی نوشته میشود، یعنی هر دو متغیر در دو طرف تساوی پراکندهاند. برای تشخیص درجه، باید معادله را مرتب کرده و بر حسب یکی از متغیرها حل کنیم.
مثال علمی ۲: معادلهٔ $x^{2} - 6x - 4y + 5 = 0$ داده شده است. ابتدا جملههای شامل y را جدا میکنیم:
$x^{2} - 6x + 5 = 4y$سپس عبارت را کامل میکنیم:
$(x^{2} - 6x + 9) + 5 - 9 = 4y \quad \Rightarrow \quad (x - 3)^{2} - 4 = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{4}(x - 3)^{2} - 1$اکنون مشخص است که نسبت به x درجهٔ 2 و نسبت به y درجهٔ 1 دارد. رأس سهمی در نقطهٔ $(3, -1)$ و بازشدگی به سمت بالاست.
| نوع سهمی | درجه نسبت به x | درجه نسبت به y | شکل استاندارد |
|---|---|---|---|
| عمودی (باز به بالا/پایین) | 2 | 1 | $y = a(x-h)^{2} + k$ |
| افقی (باز به راست/چپ) | 1 | 2 | $x = a(y-k)^{2} + h$ |
۳. کاربرد عملی: تعیین جهت بازشدگی سهمی با استفاده از علامت ضریب درجه دوم
پس از تشخیص اینکه معادله نسبت به کدام متغیر درجهٔ 2 دارد، علامت ضریب آن متغیر (یعنی $a$) مشخص میکند که سهمی به کدام سمت باز میشود:
- در سهمی عمودی ($y = ax^{2} + ...$):
- اگر $a \gt 0$ : باز به سمت بالا
- اگر $a \lt 0$ : باز به سمت پایین
- در سهمی افقی ($x = ay^{2} + ...$):
- اگر $a \gt 0$ : باز به سمت راست
- اگر $a \lt 0$ : باز به سمت چپ
مثال عینی: فرض کنید معادلهٔ مسیر یک توپ در حال پرش به صورت $y = -5x^{2} + 10x + 2$ مدل شده است (ارتفاع بر حسب متر). درجه نسبت به x برابر 2 و نسبت به y برابر 1 است. چون $a = -5 \lt 0$، سهمی به سمت پایین باز میشود که نشاندهندهٔ اوج گرفتن و سپس سقوط توپ است. رأس سهمی همان نقطهٔ حداکثر ارتفاع را نشان میدهد.
۴. چالشهای مفهومی در تشخیص درجهٔ معادلهٔ سهمی
پرسش ۱: آیا معادلهٔ $y^{2} = 4px$ یک سهمی محسوب میشود؟ درجهٔ آن چگونه است؟
پاسخ: بله، این معادلهٔ استاندارد سهمی افقی است. در این معادله، $y$ درجهٔ 2 و $x$ درجهٔ 1 دارد. پس با تعریف (درجهٔ 2 نسبت به یک متغیر و درجهٔ 1 نسبت به متغیر دیگر) کاملاً هماهنگ است.
پرسش ۲: اگر معادله به صورت $x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ باشد، آیا سهمی است؟ چرا؟
پاسخ: خیر. در این معادله هم $x$ و هم $y$ دارای درجهٔ 2 هستند (جملهٔ $x^{2}$ و $y^{2}$). این معادله پس از کامل کردن مربع به $(x-1)^{2} + y^{2} = 1$ تبدیل میشود که یک دایره به مرکز $(1,0)$ و شعاع $1$ است. برای سهمی، تنها یکی از متغیرها باید درجهٔ 2 داشته باشد.
پرسش ۳: آیا معادلهٔ $x = 3y^{2} + 2y$ سهمی است؟ اگر بله، جهت بازشدگی آن کدام است؟
پاسخ: بله، این یک سهمی افقی است زیرا $y$ درجهٔ 2 و $x$ درجهٔ 1 دارد. ضریب $y^{2}$ برابر $3$ و مثبت است، بنابراین سهمی به سمت راست باز میشود.
۵. جدول جمعبندی ویژگیهای معادلهٔ سهمی بر اساس درجه
| ویژگی | شرط درجه | نتیجه در شکل منحنی |
|---|---|---|
| سهمی عمودی | deg(x)=2, deg(y)=1 | محور تقارن عمودی (موازی محور y) |
| سهمی افقی | deg(x)=1, deg(y)=2 | محور تقارن افقی (موازی محور x) |
| سهمی با رأس در مبدأ | $y = ax^{2}$ یا $x = ay^{2}$ | سادهترین حالت با تقارن کامل |
پاورقی
1 سهمی (Parabola): مجموعه نقاطی در صفحه که فاصلهٔ هر نقطه از یک نقطهٔ ثابت (کانون) برابر با فاصلهٔ آن نقطه از یک خط ثابت (جهتیاب) است.
2 درجهٔ معادله (Degree of Equation): بزرگترین توان متغیرها در یک جمله پس از سادهسازی معادله.
3 معادلهٔ صریح (Explicit Equation): معادلهای که در آن یکی از متغیرها به تنهایی در یک طرف تساوی قرار دارد (مانند $y = f(x)$).
4 معادلهٔ ضمنی (Implicit Equation): معادلهای که در آن متغیرها در هم ضرب یا جمع شدهاند و جداسازی کامل آنها آسان نیست (مانند $x^{2} - 4x + y = 0$).
