سهمی منتقلشده با دهانه رو به بالا: بررسی جامع معادله $(x-h)^2=4a(y-k)$
1. از سهمی ساده تا سهمی منتقلشده: چرا $(x-h)^2=4a(y-k)$؟
در مقطع دبیرستان، سهمی پایه با دهانه رو به بالا به صورت $x^2=4ay$ شناخته میشود که رأس آن در نقطه $(0,0)$ قرار دارد. اما در بسیاری از مسائل، رأس سهمی در نقطه دیگری مانند $(h,k)$ واقع میشود. با انتقال افقی به اندازه $h$ و انتقال عمودی به اندازه $k$، معادله به شکل $(x-h)^2=4a(y-k)$ تبدیل میگردد. در این معادله، دهانه سهمی همواره رو به بالاست (زیرا $a \gt 0$) و عرض از مبدأ و تقارن محوری حول خط $x=h$ حفظ میشود.
مثال عینی: فرض کنید یک سهمی به معادله $(x-3)^2=8(y-2)$ داریم. در اینجا رأس در نقطه $(3,2)$ قرار دارد و چون $4a=8$، نتیجه میگیریم $a=2$. این بدان معناست که فاصله رأس تا کانون1 برابر $2$ واحد است و دهانه سهمی نسبتاً باز میباشد.
2. تحلیل گامبهگام مؤلفههای معادله
برای درک بهتر، معادله $(x-h)^2=4a(y-k)$ را به اجزاء تشکیلدهنده تقسیم میکنیم:
- رأس (Vertex) – نقطه $(h,k)$ که پایینترین نقطه سهمی است.
- کانون (Focus) – در فاصله $a$ واحد بالای رأس: $(h, k+a)$.
- خط هادی (Directrix) – خط افقی به معادله $y=k-a$.
- محور تقارن (Axis of Symmetry) – خط عمودی $x=h$.
برای نمونه، اگر معادله $(x+1)^2=12(y-4)$ را در نظر بگیریم، ابتدا آن را به شکل استاندارد مینویسیم: $(x-(-1))^2=4 \times 3 (y-4)$. بنابراین $h=-1$، $k=4$ و $a=3$. کانون در $(-1, 7)$ و خط هادی $y=1$ خواهد بود.
3. جدول مقایسه سهمی ساده و منتقلشده
| ویژگی | سهمی پایه $x^2=4ay$ | سهمی منتقلشده $(x-h)^2=4a(y-k)$ |
|---|---|---|
| رأس | $(0,0)$ | $(h,k)$ |
| کانون | $(0,a)$ | $(h,k+a)$ |
| خط هادی | $y=-a$ | $y=k-a$ |
| محور تقارن | $x=0$ | $x=h$ |
4. کاربرد عملی: طراحی آینههای مقعر و مسیر حرکت پرتابهها
معادله سهمی منتقلشده با دهانه رو به بالا در طراحی بازتابندههای نور در چراغهای جلو خودرو و آنتنهای ماهواره کاربرد گسترده دارد. فرض کنید یک آینه سهمیوار به گونهای طراحی شده که رأس آن در نقطه $(0, 2)$ قرار دارد و کانون آن در $(0, 5)$. فاصله کانونی $a$ برابر $3$ خواهد بود. معادله این آینه به صورت $x^2 = 12(y-2)$ نوشته میشود. همچنین در حرکت پرتابهها تحت جاذبه یکنواخت، مسیر حرکت به شکل یک سهمی است که با استفاده از معادله منتقلشده قابل مدلسازی است. برای مثال، اگر توپی از نقطه $(1, 3)$ با سرعت اولیه عمودی پرتاب شود، رأس قوس آن در بالاترین نقطه قرار میگیرد و معادله مسیر به فرم $(x-1)^2 = -4a (y - y_{\max})$ خواهد بود (علامت منفی برای دهانه رو به پایین).
5. چالشهای مفهومی
سؤال 1: چگونه میتوان از روی معادله $y=2x^2-8x+10$ تشخیص داد که دهانه سهمی رو به بالاست و رأس آن کجاست؟
پاسخ: با کامل کردن مربع: $y=2(x^2-4x)+10 = 2[(x-2)^2-4]+10 = 2(x-2)^2 -8+10 = 2(x-2)^2+2$. بنابراین معادله به شکل $(x-2)^2 = \frac12 (y-2)$ درمیآید. چون $4a = \frac12$ و $a=\frac18 \gt 0$، دهانه رو به بالاست و رأس در $(2,2)$ قرار دارد.
سؤال 2: اگر در معادله $(x-h)^2=4a(y-k)$ مقدار $a$ خیلی کوچک باشد (مثلاً $0.1$) چه تغییری در شکل سهمی ایجاد میشود؟
پاسخ: با کاهش $a$، فاصله کانونی کم میشود و دهانه سهمی باریکتر و تیزتر میگردد. به عبارت دیگر، سهمی به شدت حول محور تقارن خود جمع میشود. برای $a=0.1$، کانون فقط $0.1$ واحد بالای رأس قرار دارد و خط هادی بسیار نزدیک به رأس است.
سؤال 3: آیا همیشه میتوان هر سهمی با دهانه رو به بالا را به فرم $(x-h)^2=4a(y-k)$ نوشت؟ اگر معادله به صورت $y=ax^2+bx+c$ باشد چه؟
پاسخ: بله، هر سهمی با محور تقارن عمودی (دهانه رو به بالا یا پایین) قابل تبدیل به این فرم استاندارد است. با کامل کردن مربع از $y=Ax^2+Bx+C$ (با $A \neq 0$) به فرم $(x+\frac{B}{2A})^2 = \frac{1}{A}(y - (C-\frac{B^2}{4A}))$ میرسیم که دقیقاً همان ساختار است. در اینجا $4a = \frac{1}{A}$ و $a = \frac{1}{4A}$. برای دهانه رو به بالا نیاز است $A \gt 0$.
6. جمعبندی
پاورقی
1 کانون (Focus): نقطه ثابتی در داخل سهمی که هر نقطه از سهمی به همان اندازه از کانون و خط هادی فاصله دارد.
2 مقاطع مخروطی (Conic Sections): منحنیهای حاصل از برخورد یک صفحه با یک مخروط دایرهای که شامل دایره، بیضی، سهمی و هذلولی میشود.