خط هادی سهمی: خط ثابت d در تعریف سهمی
تعریف هندسی سهمی و نقش خط هادی
در هندسهٔ تحلیلی، سهمی1 به عنوان مکان هندسی نقاطی تعریف میشود که نسبت به یک نقطهٔ ثابت به نام کانون2 و یک خط ثابت به نام خط هادی3، فاصلهٔ یکسانی داشته باشند. به عبارت دیگر، اگر $F$ کانون و $d$ خط هادی باشد، برای هر نقطهٔ $P$ روی سهمی داریم:
خط هادی، یک خط راست است که معمولاً به صورت افقی یا عمودی رسم میشود. در حالت استاندارد که رأس سهمی در مبدأ مختصات است و محور تقارن آن بر یکی از محورها منطبق است، خط هادی به صورت $x = -p$ یا $y = -p$ ظاهر میشود که در آن $p$ فاصلهٔ رأس تا کانون و همچنین فاصلهٔ رأس تا خط هادی است.
مثال عملی: فرض کنید یک سهمی با کانون در نقطهٔ $(0, 2)$ و خط هادی به معادلهٔ $y = -2$ داریم. نقطهٔ $(0,0)$ روی سهمی است چون فاصلهٔ آن تا کانون برابر $2$ و فاصلهٔ آن تا خط هادی نیز $2$ میشود. به همین ترتیب، هر نقطهٔ دیگری مانند $(4,2)$ را بررسی کنید: فاصله تا کانون $\sqrt{(4-0)^2+(2-2)^2}=4$ و فاصله تا خط $y=-2$ برابر $|2-(-2)|=4$ است.
روابط جبری حاصل از تساوی فاصلهها
برای به دست آوردن معادلهٔ سهمی، از تساوی فاصلهٔ نقطهٔ متغیر $P(x,y)$ تا کانون و خط هادی استفاده میکنیم. فرض کنید کانون در نقطهٔ $(0,p)$ و خط هادی به معادلهٔ $y = -p$ باشد (سهمی قائم با رأس در مبدأ). داریم:
با مجذور کردن دو طرف و سادهسازی:
$x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2$
$x^2 = 4py$
معادلهٔ استاندارد سهمی قائم با رأس در مبدأ به دست آمد. به همین ترتیب، اگر کانون روی محور $x$ باشد و خط هادی عمودی، معادلهٔ $y^2 = 4px$ حاصل میشود.
| جهت سهمی | کانون | خط هادی | معادلهٔ استاندارد |
|---|---|---|---|
| بالا باز (قائم) | $(0,p)$ | $y=-p$ | $x^2=4py$ |
| پایین باز (قائم) | $(0,-p)$ | $y=p$ | $x^2=-4py$ |
| راست باز (افقی) | $(p,0)$ | $x=-p$ | $y^2=4px$ |
| چپ باز (افقی) | $(-p,0)$ | $x=p$ | $y^2=-4px$ |
کاربرد عملی: طراحی بازتابندههای سهمی
خاصیت بازتابی سهمی که مستقیماً از تعریف خط هادی و کانون ناشی میشود، کاربردهای فراوانی دارد. در آنتنهای ماهواره، چراغهای خودرو و تلسکوپهای بازتابی، از سطح سهمی استفاده میشود. امواج موازی (مانند نور خورشید یا امواج رادیویی) پس از برخورد با سطح سهمی، به سمت کانون بازتاب میشوند. برعکس، اگر منبعی در کانون قرار گیرد، پرتوهای بازتاب شده موازی با محور سهمی خارج میشوند.
مثال عددی: یک آنتن سهمی به قطر 1 متر داریم که عمق آن 25 سانتیمتر است. با قرار دادن مبدأ در رأس آنتن، معادلهٔ مقطع آن به صورت $x^2=4py$ خواهد بود. در لبهٔ آنتن داریم: $x=0.5$ متر و $y=0.25$ متر. با جایگذاری: $(0.5)^2=4p(0.25) \Rightarrow 0.25 = p \Rightarrow p=0.25$ متر. بنابراین کانون در فاصلهٔ 25 سانتیمتری از رأس (کف آنتن) قرار دارد و گیرنده باید در همین نقطه نصب شود.
چالشهای مفهومی پیرامون خط هادی
۱. آیا خط هادی همیشه بیرون از سهمی قرار دارد؟
بله، در سهمیهای استاندارد، خط هادی در سمتی مخالف جهت بازشدگی سهمی قرار میگیرد و هیچ نقطهای از سهمی روی آن نیست. به عنوان مثال در سهمی $y=x^2$ (با $p=0.25$) خط هادی $y=-0.25$ کاملاً زیر سهمی است. فاصلهٔ هر نقطه تا خط هادی مثبت و برابر فاصلهٔ آن تا کانون در بالای خط است.
۲. اگر کانون روی خط هادی قرار گیرد چه اتفاقی میافتد؟
در این حالت شرط $PF =$ فاصله تا خط هادی، تنها برای نقاطی روی خط عمود بر خط هادی و گذرنده از کانون برقرار میشود و مجموعهٔ نقاط به یک خط راست تبدیل میشود، نه یک سهمی. بنابراین برای داشتن یک سهمی واقعی، کانون نباید روی خط هادی باشد و فاصلهٔ کانون تا خط هادی (که برابر $2p$ است) باید بزرگتر از صفر باشد.
۳. آیا خط هادی در معادلههای سهمی که رأس آن در مبدأ نیست نیز نقش مشابهی دارد؟
بله. اگر رأس سهمی در نقطهٔ $(h,k)$ باشد، برای سهمی قائم با فاصلهٔ کانونی $p$، خط هادی به معادلهٔ $y = k - p$ (اگر سهمی رو به بالا باز شود) خواهد بود. باز هم تساوی فاصلهٔ هر نقطه تا کانون $(h, k+p)$ و فاصلهٔ آن تا خط هادی برقرار است و معادلهٔ استاندارد $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ به دست میآید.
پاورقی
1 سهمی (Parabola): منحنی مسطح و باز که از برش مخروط با صفحهای موازی با یکی از خطوط سازندهٔ مخروط حاصل میشود.
2 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی در تعریف سهمی که فاصلهٔ هر نقطهٔ سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا خط هادی برابر است.
3 خط هادی (Directrix): خط ثابتی در تعریف سهمی که فاصلهٔ هر نقطهٔ سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا کانون برابر است.