کانون سهمی: نقطهٔ ثابت و نقش آن در تعریف هندسی سهمی
تعریف هندسی سهمی و نقش کانون
سهمی 1 به عنوان مکان هندسی نقاطی در صفحه تعریف میشود که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ ثابت به نام کانون2 برابر با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت به نام خط هادی3 باشد. به عبارت دیگر، اگر نقطهٔ $P$ روی سهمی قرار داشته باشد، $F$ کانون و خط $d$ خط هادی باشد، آنگاه:
این تعریف، مبنای تمام روابط جبری و ترسیم سهمی است. برای نمونه، فرض کنید کانون در نقطهٔ $(0, p)$ و خط هادی به معادلهٔ $y = -p$ قرار دارد. آنگاه معادلهٔ سهمی به صورت $x^2 = 4py$ به دست میآید. پارامتر $p$ فاصلهٔ کانون تا رأس سهمی است.
معادلهٔ استاندارد سهمی بر اساس کانون و خط هادی
بسته به جهت بازشدگی سهمی، چهار حالت اصلی برای معادلهٔ استاندارد وجود دارد. در جدول زیر این حالات همراه با مختصات کانون و معادلهٔ خط هادی مقایسه شدهاند:
| جهت بازشدگی | معادلهٔ استاندارد | مختصات کانون | معادلهٔ خط هادی |
|---|---|---|---|
| بالا (محور قائم) | $x^2 = 4py$ | $(0, p)$ | $y = -p$ |
| پایین (محور قائم) | $x^2 = -4py$ | $(0, -p)$ | $y = p$ |
| راست (محور افقی) | $y^2 = 4px$ | $(p, 0)$ | $x = -p$ |
| چپ (محور افقی) | $y^2 = -4px$ | $(-p, 0)$ | $x = p$ |
در این جداول، $p \neq 0$ یک عدد حقیقی است. اگر $p \gt 0$ باشد، جهت بازشدگی به سمت بالا یا راست است و اگر $p \lt 0$ باشد، جهت بازشدگی به سمت پایین یا چپ خواهد بود.
مثال عددی: از تعریف تا معادله
فرض کنید میخواهیم معادلهٔ سهمی با کانون $F(0, 2)$ و خط هادی $y = -2$ را پیدا کنیم. بر اساس تعریف، برای نقطهٔ دلخواه $(x, y)$ روی سهمی داریم:
با مربع کردن دو طرف و سادهسازی:
$x^2 + (y-2)^2 = (y+2)^2 \Rightarrow x^2 + y^2 -4y +4 = y^2 +4y +4 \Rightarrow x^2 = 8y$
بنابراین معادلهٔ سهمی به صورت $x^2 = 8y$ است. در اینجا $4p = 8$ پس $p = 2$ که با فاصلهٔ کانون تا رأس (مبدأ مختصات) برابر است.
کاربرد عملی: طراحی بازتابندهٔ نور در چراغ خودرو
یکی از کاربردهای مهم کانون سهمی در ساخت آینههای مقعر سهمی شکل است. اگر منبع نوری در کانون یک آینهٔ سهمی قرار گیرد، پرتوهای بازتابیده شده به موازات محور تقارن حرکت میکنند. برعکس، پرتوهای موازی با محور پس از بازتاب از سطح سهمی در کانون متمرکز میشوند. به همین دلیل در چراغهای جلوی خودرو و تلسکوپهای بازتابی 4 از سطح سهمی استفاده میشود. به عنوان مثال، یک چراغ خودرو با قطر $20$ سانتیمتر و عمق $5$ سانتیمتر را در نظر بگیرید. با قرار دادن مبدأ در رأس سهمی، معادلهٔ مقطع آن به صورت $x^2 = 4py$ خواهد بود. با جایگذاری نقطهٔ لبه $(10, 5)$ داریم $100 = 4p \times 5 \Rightarrow p = 5$. بنابراین کانون در فاصلهٔ $5$ سانتیمتری از رأس قرار دارد و لامپ باید در همان نقطه نصب شود تا پرتوهای خروجی موازی شوند.
چالشهای مفهومی
پرسش ۱: آیا کانون همیشه داخل سهمی قرار دارد؟
پاسخ: بله. در سهمیهای استاندارد، کانون روی محور تقارن و در ناحیهٔ داخلی سهمی (سمت بازشدگی) واقع شده است. خط هادی نیز در طرف دیگر رأس قرار دارد. برای نمونه در $x^2 = 4py$ با $p \gt 0$، کانون $(0, p)$ بالای رأس و داخل ناحیهٔ سهمی است.
پرسش ۲: اگر خط هادی عمودی باشد، شکل معادله چه تغییری میکند؟
پاسخ: زمانی که خط هادی عمودی است (مانند $x = -p$)، سهمی به سمت راست یا چپ باز میشود و معادله به شکل $y^2 = 4px$ یا $y^2 = -4px$ درمیآید. در این حالت، کانون روی محور $x$ها قرار میگیرد.
پرسش ۳: چه رابطهای بین فاصلهٔ کانونی و عرض از مبدأ سهمی وجود دارد؟
پاسخ: برای سهمی $x^2 = 4py$، اگر از رأس به اندازهٔ $2p$ به سمت چپ و راست برویم (یعنی $x = \pm 2p$)، مقدار $y$ برابر $p$ میشود. بنابراین پارهخط افقی که از کانون میگذرد و دو سر آن روی سهمی است، طولی برابر $4p$ دارد. به این پارهخط، «عرض از مبدأ کانونی» میگویند.
جمعبندی
پاورقی
1 سهمی (Parabola): مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ ثابت (کانون) برابر با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت (خط هادی) است.
2 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی که در تعریف سهمی به عنوان یکی از دو عنصر مرجع استفاده میشود.
3 خط هادی (Directrix): خط ثابتی که در تعریف سهمی به عنوان دومین عنصر مرجع به کار میرود.
4 تلسکوپ بازتابی (Reflecting Telescope): تلسکوپی که از آینهٔ اصلی مقعر سهمی شکل برای جمعآوری و متمرکز کردن نور استفاده میکند.