سهمی: مکان هندسی نقاط همفاصله از یک خط ثابت و یک نقطهٔ ثابت
تعریف سهمی و اجزای اصلی آن
در هندسهٔ تحلیلی، سهمی1 به مجموعهٔ همهٔ نقاطی در یک صفحه گفته میشود که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ ثابت (به نام کانون2) با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت (به نام خط هادی3) برابر باشد. کانون روی خط هادی قرار ندارد. این تعریف را میتوان با یک رابطهٔ ریاضی ساده نمایش داد:
اجزای اصلی سهمی عبارتند از:
- رأس4: نقطهٔ میانی بین کانون و خط هادی روی عمود مشترک. سهمی نسبت به رأس متقارن است.
- محور تقارن5: خط عمودی یا افقی که از کانون و رأس میگذرد و سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم میکند.
- کانون: نقطهٔ ثابت داخل سهمی که فاصلهٔ هر نقطه از سهمی تا آن با فاصله تا خط هادی برابر است.
- خط هادی: خط ثابتی بیرون از سهمی که نقش معیار دوم را دارد.
- شمارهٔ کانونی6 ($p$): فاصلهٔ رأس تا کانون (یا رأس تا خط هادی) که تعیین کنندهٔ بازشدگی سهمی است.
استخراج معادلهٔ استاندارد سهمی (حالت قائم با رأس در مبدأ)
برای سادهسازی، فرض کنید رأس سهمی در مبدأ مختصات $(0,0)$، محور تقارن آن عمودی (همراستا با محور $y$ها) و کانون روی محور $y$ مثبت در نقطهٔ $(0,p)$ باشد. در این صورت خط هادی به صورت افقی و با معادلهٔ $y = -p$ خواهد بود. نقطهٔ دلخواه $P(x,y)$ روی سهمی قرار میگیرد اگر:
چون فاصلهٔ نقطه تا خط هادی برابر قدر مطلق اختلاف عرض است (خط هادی افقی است). با مجذور کردن دو طرف و سادهسازی:
$x^2 + (y-p)^2 = (y+p)^2$
$x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2$
$x^2 = 4py$
بنابراین معادلهٔ استاندارد سهمی با رأس در مبدأ و محور تقارن عمودی به صورت $x^2 = 4py$ است. اگر محور تقارن افقی باشد، معادله به شکل $y^2 = 4px$ درمیآید.
| جهت بازشدگی | معادلهٔ استاندارد | کانون | خط هادی | محور تقارن |
|---|---|---|---|---|
| به سمت بالا | $x^2 = 4py$ با $p \gt 0$ | $(0,p)$ | $y = -p$ | محور $y$ |
| به سمت پایین | $x^2 = 4py$ با $p \lt 0$ | $(0,p)$ | $y = -p$ | محور $y$ |
| به سمت راست | $y^2 = 4px$ با $p \gt 0$ | $(p,0)$ | $x = -p$ | محور $x$ |
| به سمت چپ | $y^2 = 4px$ با $p \lt 0$ | $(p,0)$ | $x = -p$ | محور $x$ |
مثال عددی گامبهگام برای یافتن معادله و اجزاء
فرض کنید کانون یک سهمی در نقطهٔ $(0,3)$ و خط هادی آن $y = -3$ باشد. از آنجا که فاصلهٔ رأس تا کانون برابر $p = 3$ است و کانون بالای رأس قرار دارد، معادله به صورت $x^2 = 4py$ با $p=3$ خواهد بود:
$x^2 = 4(3)y \quad\Rightarrow\quad x^2 = 12y$
برای یافتن عرض یک نقطه با طول مشخص، مثلاً $x=6$:
$36 = 12y \quad\Rightarrow\quad y=3$
بنابراین نقطهٔ $(6,3)$ روی سهمی قرار دارد. فاصلهٔ آن تا کانون $(0,3)$ برابر $6$ واحد و فاصله تا خط هادی $y=-3$ برابر $|3-(-3)| = 6$ واحد است که تساوی را تأیید میکند.
کاربرد عملی سهمی در طراحی بازتابندهها و آنتنها
یکی از ویژگیهای مهم سهمی، خاصیت بازتابی آن است: هر پرتو موازی با محور تقارن که به سطح داخلی یک سهمی (آینهٔ سهمیوار) برخورد کند، از کانون عبور میکند. برعکس، نور یا امواج ساطع شده از کانون پس از برخورد به آینه، به صورت موازی با محور تقارن بازتاب میشوند. این خاصیت در طراحی آنتنهای ماهواره، چراغهای جلوی خودرو (چراغهای سهمیوار) و تلسکوپهای بازتابی استفاده میشود. به عنوان مثال، در یک آنتن ماهواره، امواج ضعیف از فضا پس از برخورد به سطح سهمی در کانون متمرکز شده و توسط گیرنده تقویت میگردند.
چالشهای مفهومی
خیر. سهمی یک منحنی باز است و هرگز بسته نمیشود. اگر کانون روی خط هادی قرار گیرد، مکان هندسی به یک خط راست تبدیل میشود (و نه سهمی). شرط اصلی تعریف سهمی، نبودن کانون روی خط هادی است.
زیرا اگر $p \gt 0$ باشد، کانون روی نیممحور مثبت $y$ و خط هادی در $y=-p$ (زیر رأس) قرار دارد، بنابراین نقاط سهمی باید بالای رأس باشند. با $p \lt 0$ کانون در پایین و خط هادی در بالا قرار میگیرد، بنابراین سهمی به سمت پایین باز میشود.
با استفاده از انتقال محورها، اگر رأس در نقطهٔ $(h,k)$ باشد، معادلهٔ استاندارد برای سهمی قائم به صورت $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ و برای سهمی افقی به صورت $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ نوشته میشود. کانون و خط هادی نیز به اندازهٔ $(h,k)$ جابهجا میشوند.
پاورقی
1 سهمی (Parabola): یکی از مقاطع مخروطی است که از برخورد یک صفحه با مخروط، زمانی که صفحه موازی با یک نسل مخروط است، ایجاد میشود.
2 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی در تعریف سهمی که فاصلهٔ هر نقطه از سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا خط هادی برابر است.
3 خط هادی (Directrix): خط ثابتی که در تعریف سهمی، معیار دوم برای اندازهگیری فاصله است.
4 رأس (Vertex): نقطهٔ عطف سهمی که روی محور تقارن و دقیقاً در میانهٔ بین کانون و خط هادی قرار دارد.
5 محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی که سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم کرده و از رأس و کانون عبور میکند.
6 شمارهٔ کانونی (Focal Parameter): فاصلهٔ رأس تا کانون که با $p$ نمایش داده شده و بازشدگی سهمی را تعیین میکند.