سهمی: مکان هندسی نقاطی از صفحه که فاصلهٔ آن‌ها از یک نقطهٔ ثابت و یک خط ثابت برابر است.

سهمی: مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از کانون و خط مستقیم راهنما

تعریف پایه و اجزای اصلی سهمی

سهمی یکی از مقاطع مخروطی است که از برخورد یک صفحه با مخروط ایجاد می‌شود. اما تعریف استاندارد هندسی آن به صورت مکان هندسی¹ نقاطی در صفحه است که فاصلهٔ هر نقطه تا یک نقطهٔ ثابت به نام کانون^{2 (F) برابر با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت به نام مستقیم‌الراهنما3 (L) باشد. به عبارت دیگر اگر نقطهٔ دلخواه P روی سهمی قرار داشته باشد، داریم:}

در اینجا d(P, L) نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ عمودی (کوتاه‌ترین فاصله) از نقطه تا خط راهنما است. نقطهٔ میانی بین کانون و خط راهنما بر روی سهمی قرار دارد و رأس⁴ سهمی نامیده می‌شود. خطی عمود بر خط راهنما که از کانون و رأس می‌گذرد، محور تقارن سهمی است. مقدار p که فاصلهٔ رأس تا کانون (و همچنین فاصلهٔ رأس تا خط راهنما) را نشان می‌دهد، پارامتر سهمی نام دارد.

برای درک بهتر، فرض کنید نقطهٔ F روی محور xها در مختصات (p,0) قرار دارد و خط راهنما عمودی به معادلهٔ x = -p است. در این حالت رأس سهمی در مبدأ مختصات قرار می‌گیرد و سهمی به سمت راست باز می‌شود. با استفاده از تعریف بالا می‌توان معادلهٔ آن را به دست آورد.

استخراج معادله استاندارد سهمی با رأس در مبدأ

مطابق شکل فرضی (در ذهن خود تصور کنید)، نقطهٔ P(x,y) را روی سهمی در نظر می‌گیریم. فاصلهٔ این نقطه تا کانون F(p,0) برابر است با:

فاصلهٔ نقطه تا خط راهنما (که معادلهٔ آن x = -p است) برابر است با فاصلهٔ افقی:

از تساوی این دو فاصله داریم:

با مجذور کردن دو طرف و ساده‌سازی:

بنابراین معادلهٔ استاندارد سهمی با رأس در مبدأ و محور تقارن افقی (بازشو به راست) به صورت $y^2 = 4px$ است. اگر سهمی به چپ باز شود، معادله به شکل $y^2 = -4px$ خواهد بود. برای حالت قائم (محور تقارن عمودی) نیز معادلات $x^2 = 4py$ (بازشو به بالا) و $x^2 = -4py$ (بازشو به پایین) به دست می‌آید.

جدول مقایسهٔ حالت‌های استاندارد سهمی با رأس در مبدأ

مثال عینی و کاربرد عملی: طراحی آینهٔ سهمی‌گون

فرض کنید می‌خواهیم یک آینهٔ مقعر به شکل سهمی طراحی کنیم تا تمام پرتوهای نور موازی با محور تقارن را در کانون جمع کند (کاربرد در تلسکوپ‌های بازتابی). اگر رأس آینه در مبدأ و کانون آن در نقطهٔ (0, 5) سانتی‌متر باشد، معادلهٔ سطح مقطع آینه به صورت سهمی بازشو به بالا خواهد بود. با توجه به اینکه فاصلهٔ رأس تا کانون برابر p = 5 است، معادله به شکل $x^2 = 4py = 20y$ یا $y = \frac{x^2}{20}$ به دست می‌آید. اکنون اگر دهانهٔ آینه به عرض 20 سانتی‌متر (از x = -10 تا x = 10) باشد، عمق آینه در مرکز برابر است با $y(10) = 100/20 = 5$ سانتی‌متر. این مثال نشان می‌دهد که چگونه تعریف سهمی به یک مسئلهٔ فیزیکی تبدیل می‌شود.

انتقال سهمی: معادله با رأس در نقطهٔ دلخواه

اگر رأس سهمی در نقطهٔ (h, k) قرار داشته باشد و محور تقارن موازی با یکی از محورهای مختصات باشد، معادله به شکل منتقل‌یافته نوشته می‌شود. برای مثال سهمی با رأس (h, k) که به راست باز می‌شود:

به طور مشابه برای بازشدن به چپ: $(y - k)^2 = -4p(x - h)$، به بالا: $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ و به پایین: $(x - h)^2 = -4p(y - k)$. کانون و خط راهنما نیز به اندازهٔ بردار انتقال $(h, k)$ جابه‌جا می‌شوند.

چالش‌های مفهومی

روش گام‌به‌گام رسم سهمی (با یک مثال عددی)

فرض کنید معادلهٔ سهمی $y^2 = 12x$ داده شده است. می‌خواهیم رأس، کانون، خط راهنما و محور تقارن را بیابیم و نمودار آن را رسم کنیم.

گام یک: معادله را با فرم استاندارد $y^2 = 4px$ مقایسه می‌کنیم. داریم $4p = 12$ ⇒ $p = 3$.

گام دو: رأس در مبدأ $(0, 0)$ است. چون معادله به صورت $y^2 = 4px$ با $p \gt 0$ است، سهمی به راست باز می‌شود.

گام سه: کانون در $(p, 0) = (3, 0)$ قرار دارد.

گام چهار: خط راهنما به معادلهٔ $x = -p = -3$ است.

گام پنج: محور تقارن، محور $x$ها ($y = 0$) می‌باشد.

گام شش (رسم): چند نقطه مانند $x=1$ ⇒ $y = \pm \sqrt{12} \approx \pm 3.46$، $x=3$ ⇒ $y = \pm 6$ و ... را محاسبه کرده، منحنی متقارن نسبت به محور $x$ را رسم می‌کنیم.

جمع‌بندی

پاورقی

¹ مکان هندسی (Locus): مجموعه‌ای از نقاط که همگی در یک شرط یا ویژگی هندسی مشترک هستند.

² کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی که در تعریف سهمی، فاصلهٔ هر نقطهٔ سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا خط راهنما برابر است.

³ مستقیم‌الراهنما (Directrix): خط ثابتی که در تعریف سهمی، فاصلهٔ هر نقطه از سهمی تا این خط برابر با فاصلهٔ آن نقطه تا کانون است.

⁴ رأس (Vertex): نقطهٔ تقاطع سهمی با محور تقارن آن که دقیقاً در میانهٔ کانون و خط راهنما قرار دارد.