نیمقطر کوچک (b) در بیضی: تعریف، محاسبه و کاربردها
تعریف هندسی نیمقطر کوچک و نقش نقطهٔ O و B
بیضی یک منحنی بسته است که از مجموعه نقاطی در صفحه تشکیل میشود که مجموع فاصلهٔ هر نقطه از دو نقطهٔ ثابت به نام کانونها، مقداری ثابت و برابر با 2a است (که a همان نیمقطر بزرگ است). در بیضی که مرکز آن نقطهٔ O نام دارد، دو محور عمود بر هم وجود دارد: محور بزرگ (طولانیتر) و محور کوچک (کوتاهتر).
نقطهٔ B یکی از دو انتهای محور کوچک است. بنابراین پارهخط OB از مرکز بیضی تا یکی از رأسهای محور کوچک امتداد دارد. طول این پارهخط را نیمقطر کوچک مینامند و با حرف b نشان میدهند. به عبارت دیگر، b = OB و همواره شرط 0 \lt b \le a برقرار است (در حالت دایره، a = b).
برای درک بهتر، یک بیضی با مرکز در مبدأ مختصات و محورها موازی با محورهای مختصات در نظر بگیرید. در این حالت معادلهٔ بیضی به صورت زیر است:
در این معادله، اگر x = 0 قرار دهیم، به $ \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $ میرسیم که نتیجه میدهد y = \pm b. این دو نقطه، همان نقاط B و B' (انتهای محور کوچک) هستند. بنابراین طول OB برابر با b خواهد بود.
رابطهٔ نیمقطر کوچک با نیمقطر بزرگ و فاصلهٔ کانونی
یکی از مهمترین روابط در بیضی، ارتباط بین سه کمیت a (نیمقطر بزرگ)، b (نیمقطر کوچک) و c (نصف فاصلهٔ دو کانون) است. این رابطه به صورت زیر است:
از این رابطه میتوان برای محاسبهٔ هر یک از این سه مقدار، در صورتی که دو مقدار دیگر معلوم باشند، استفاده کرد. همچنین خروج از مرکز1 بیضی که با e نشان داده میشود، از رابطهٔ $ e = \frac{c}{a} $ به دست میآید. با ترکیب این دو رابطه میتوان b را برحسب a و e نیز نوشت:
برای مثال، اگر بیضی دارای نیمقطر بزرگ a = 5 واحد و خروج از مرکز e = 0.6 باشد، مقدار نیمقطر کوچک به صورت زیر محاسبه میشود:
بنابراین طول OB برابر با 4 واحد خواهد بود.
جدول مقایسهٔ ویژگیهای نیمقطر بزرگ و نیمقطر کوچک
| ویژگی | نیمقطر بزرگ (a) | نیمقطر کوچک (b) |
|---|---|---|
| تعریف | فاصله از مرکز تا رأس روی محور بزرگ | فاصله از مرکز تا رأس روی محور کوچک (OB) |
| رابطه با کانون | a \ge c | b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} |
| مقدار در دایره | a = R (شعاع) | b = R (شعاع) |
| تأثیر بر کشیدگی | با افزایش a (ثابت b)، کشیدگی بیشتر میشود | با کاهش b (ثابت a)، کشیدگی بیشتر میشود |
کاربرد عملی: محاسبهٔ مساحت بیضی با استفاده از نیمقطر کوچک
یکی از مستقیمترین کاربردهای نیمقطر کوچک، در فرمول مساحت بیضی است. مساحت بیضی از ضرب عدد پی (\pi) در حاصلضرب دو نیمقطر به دست میآید:
فرض کنید در یک مسئلهٔ مهندسی، یک بیضی به طول محور بزرگ 10 سانتیمتر و فاصلهٔ کانونی 6 سانتیمتر داریم. ابتدا نیمقطر بزرگ a = 5 سانتیمتر و c = 3 سانتیمتر است. با استفاده از رابطهٔ $ b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} $ داریم:
سپس مساحت بیضی برابر است با:
این مثال نشان میدهد که چگونه با دانستن طول OB (یعنی b) میتوان به راحتی مساحت بیضی را محاسبه کرد.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. طبق تعریف، محور بزرگ همواره بزرگترین قطر بیضی است. بنابراین نیمقطر بزرگ (a) بزرگتر یا مساوی نیمقطر کوچک (b) است. تنها در حالت خاص دایره است که a = b و در سایر بیضیها a \gt b.
پاسخ: خیر. نقطهٔ B به عنوان یکی از دو انتهای محور کوچک، فاصلهٔ ثابتی از مرکز O دارد که همان b است. جابهجایی نقطه در امتداد محور کوچک امکانپذیر نیست؛ زیرا تعریف بیضی، نقاط انتهایی محورها را مشخص میکند.
پاسخ: رابطهٔ اصلی $ c^{2} = a^{2} - b^{2} $ نشان میدهد که با افزایش b (برای a ثابت)، فاصلهٔ کانونی c کاهش مییابد و بیضی به دایره نزدیکتر میشود. برعکس، اگر b کوچک شود، c افزایش مییابد و بیضی کشیدهتر میگردد.
جمعبندی
پاورقی
1 خروج از مرکز (Eccentricity): کمیتی بدون بعد است که میزان کشیدگی بیضی را نشان میدهد و با حرف e نمایش داده میشود. مقدار آن برای بیضی بین 0 و 1 است (دایره: e = 0).