نیمقطر بزرگ (a) در بیضی: طول OA بهعنوان نصف بزرگترین قطر
تعریف بیضی و جایگاه نیمقطر بزرگ
بیضی مجموعه نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله هر نقطه از دو نقطه ثابت به نام کانونها مقداری ثابت و برابر با طول قطر بزرگ باشد. بیضی دو قطر اصلی عمود بر هم دارد: قطر بزرگ (بلندترین وتر) و قطر کوچک (کوتاهترین وتر). نقطه مرکز بیضی (O) محل تلاقی این دو قطر است. اگر از مرکز O تا انتهای قطر بزرگ در یک جهت حرکت کنیم، به اندازه نیمقطر بزرگ رسیدهایم که با حرف a نمایش داده میشود. به همین ترتیب، فاصله مرکز تا انتهای قطر کوچک، نیمقطر کوچک (b) نام دارد.
در بیضی استاندارد با معادله $ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $ که در آن $ a \ge b \gt 0 $، نیمقطر بزرگ روی محور $x$ها قرار دارد و طول آن از $ -a $ تا $ +a $ تغییر میکند. دو رأس بیضی روی قطر بزرگ در نقاط $ (a,0) $ و $ (-a,0) $ قرار دارند.
رابطه نیمقطر بزرگ با دیگر پارامترهای بیضی
در هر بیضی، رابطه مهمی بین نیمقطر بزرگ (a)، نیمقطر کوچک (b) و فاصله کانونی (c) برقرار است. فاصله هر کانون از مرکز بیضی را با c نشان میدهیم. این سه کمیت به وسیله رابطه زیر به هم متصل میشوند:
از این رابطه میتوان برای یافتن هر یک از سه پارامتر در صورت داشتن دو پارامتر دیگر استفاده کرد. همچنین خروج از مرکز (e) که نشاندهنده میزان کشیدگی بیضی است، به صورت نسبت $ e = \frac{c}{a} $ تعریف میشود. از آنجا که $ 0 \le c \lt a $، مقدار e همواره بین 0 (دایره کامل) و 1 (بیضی بسیار کشیده) قرار دارد.
| پارامتر | نماد | رابطه با a | محدوده |
|---|---|---|---|
| نیمقطر بزرگ | a | — | a \gt 0 |
| نیمقطر کوچک | b | b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} | 0 \lt b \le a |
| فاصله کانونی | c | c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} | 0 \le c \lt a |
| خروج از مرکز | e | e = \frac{c}{a} | 0 \le e \lt 1 |
مثال گامبهگام: محاسبه نیمقطر بزرگ و خروج از مرکز
فرض کنید یک بیضی به معادله $ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 $ داریم. میخواهیم مقدار a، b، c و e را پیدا کنیم.
مرحله 1: مخرج کسر مربوط به x^{2} برابر 25 است. بنابراین a^{2} = 25 و در نتیجه a = 5 (چون طول مثبت است). نیمقطر بزرگ برابر 5 واحد است.
مرحله 2: مخرج کسر مربوط به y^{2} برابر 9 است. پس b^{2} = 9 و b = 3.
مرحله 3: با استفاده از رابطه $ c^{2} = a^{2} - b^{2} $ داریم: $ c^{2} = 25 - 9 = 16 $، بنابراین c = 4.
مرحله 4: خروج از مرکز: $ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8 $. این بیضی نسبتاً کشیده است.
کاربرد عملی نیمقطر بزرگ در ستارهشناسی و مهندسی
یکی از مهمترین کاربردهای نیمقطر بزرگ در قوانین کپلر1 درباره حرکت سیارات دیده میشود. قانون سوم کپلر بیان میکند که مربع دوره تناوب مداری یک سیاره (T) با مکعب نیمقطر بزرگ مدار بیضوی آن (a) رابطه مستقیم دارد: $ T^{2} \propto a^{3} $. این رابطه به اخترشناسان اجازه میدهد با اندازهگیری دوره گردش سیارات، فاصله متوسط آنها از خورشید را محاسبه کنند.
در مهندسی مکانیک و عمران، از بیضیها برای طراحی طاقهای بیضوی، پلها و برخی مسیرهای مکانیزمهای لولا استفاده میشود. در این موارد، تعیین دقیق نیمقطر بزرگ برای محاسبه تنشها و طراحی اجزا ضروری است.
همچنین در نقشهبرداری و سامانههای موقعیتیاب جهانی (GPS)، سطح زمین به صورت یک بیضیگون2 (بیضی حاصل از چرخش یک بیضی به دور قطر کوچکش) مدل میشود که در آن نیمقطر بزرگ (شعاع استوایی) نقشی کلیدی در محاسبات فاصله و مختصات دارد.
چالشهای مفهومی پیرامون نیمقطر بزرگ
۱. آیا نیمقطر بزرگ همیشه روی محور افقی قرار دارد؟
خیر. در معادله استاندارد $ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $ با شرط $ a \ge b $، نیمقطر بزرگ روی محور xها قرار میگیرد. اما اگر معادله به شکل $ \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 $ باشد (با $ a \ge b $)، آنگاه قطر بزرگ روی محور yها قرار دارد و نیمقطر بزرگ برابر a خواهد بود. بنابراین جهت بیضی به جای جملات در معادله بستگی دارد.
۲. اگر a = b باشد، بیضی چه شکلی پیدا میکند؟
در این حالت داریم $ a = b $، بنابراین از رابطه $ c^{2} = a^{2} - b^{2} $ نتیجه میشود $ c = 0 $. یعنی دو کانون بر هم منطبق میشوند و خروج از مرکز $ e = 0 $ خواهد بود. چنین بیضی در واقع یک دایره است. دایره حالت خاصی از بیضی محسوب میشود که در آن هر دو نیمقطر با هم برابرند.
۳. چرا در فرمول مساحت بیضی از حاصلضرب a و b استفاده میشود؟
مساحت بیضی از رابطه $ S = \pi a b $ به دست میآید. اگر دایره را حالت خاص بیضی با $ a = b = r $ در نظر بگیریم، مساحت به $ \pi r^{2} $ تبدیل میشود. دلیل استفاده از هر دو نیمقطر این است که بیضی در واقع یک دایره فشرده شده است: اگر دایرهای به شعاع a را به اندازه ضریب b/a در جهت عمودی فشرده کنیم، به بیضی با نیمقطرهای a و b میرسیم و مساحت نیز به همان نسبت تغییر میکند.
نکته مهم: تفاوت بین قطر بزرگ و نیمقطر بزرگ
برخی دانشآموزان قطر بزرگ (که برابر 2a است) را با نیمقطر بزرگ اشتباه میگیرند. قطر بزرگ، پارهخطی است که از یک رأس بیضی به رأس مقابل آن میرود و از مرکز میگذرد. نیمقطر بزرگ دقیقاً نصف این مقدار است و فاصله مرکز تا هر رأس را نشان میدهد. در بسیاری از مسائل، بهویژه در قوانین کپلر و معادله استاندارد بیضی، استفاده از خود a مرسوم است.
پاورقی
1 قوانین کپلر (Kepler's Laws): سه قانون مربوط به حرکت سیارات به دور خورشید که توسط یوهانس کپلر در قرن هفدهم ارائه شد. قانون اول: مدار سیارات به شکل بیضی است که خورشید در یکی از کانونهای آن قرار دارد.
2 بیضیگون (Spheroid یا Ellipsoid): سطح حاصل از چرخش یک بیضی به دور یکی از قطرهای آن. زمین تقریباً یک بیضیگون کشیده (پروتیت) است که نیمقطر بزرگ آن (شعاع استوایی) حدود 6378 کیلومتر و نیمقطر کوچک آن (شعاع قطبی) حدود 6357 کیلومتر است.