معادلهٔ دایره در دستگاه مختصات: اگر مرکز دایره O′(α,β) و شعاع r باشد، معادلهٔ آن (x−α)^2+(y−β)^2=r^2 است.

معادلهٔ دایره در دستگاه مختصات

1. تعریف هندسی دایره و معرفی مؤلفه‌ها

دایره¹ در هندسه تحلیلی، مجموعهٔ تمام نقاطی از صفحه است که فاصلهٔ آنها از یک نقطهٔ ثابت (مرکز²) برابر با مقدار ثابت (شعاع³) باشد. اگر مرکز دایره را با $O'(\alpha, \beta)$ و شعاع را با $r$ نشان دهیم، یک نقطهٔ دلخواه روی دایره مانند $P(x, y)$ باید در شرط $d(O', P) = r$ صدق کند.

برای نمونه، فرض کنید مرکز دایره در نقطهٔ $(2, -1)$ و شعاع آن برابر $3$ واحد باشد. نقاطی مانند $(5, -1)$، $(2, 2)$ و $(2, -4)$ همگی روی دایره قرار دارند، زیرا فاصلهٔ آنها تا مرکز دقیقاً $3$ است. این درک شهودی پایهٔ نوشتن معادلهٔ جبری دایره است.

2. استخراج گام به گام معادلهٔ استاندارد دایره

با استفاده از فرمول فاصله، شرط قرار گرفتن نقطهٔ $P(x, y)$ روی دایره به مرکز $O'(\alpha, \beta)$ و شعاع $r$ را می‌نویسیم:

$\sqrt{(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2} = r$

از آنجا که شعاع $r$ همواره نامنفی است، دو طرف معادله را به توان $2$ می‌رسانیم تا از رادیکال خلاص شویم:

$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$

این همان معادلهٔ استاندارد دایره است. در این معادله:

• $\alpha$ و $\beta$ مختصات مرکز دایره هستند.
• $r$ شعاع دایره بوده و $r \gt 0$ (در صورتی که $r=0$ باشد، دایره به یک نقطه تبدیل می‌شود).

مثال عملی: فرض کنیم معادلهٔ دایره‌ای به صورت $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ داده شده است. برای یافتن مرکز و شعاع، آن را با شکل استاندارد مقایسه می‌کنیم: $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$. در اینجا $\alpha = 3$، $\beta = -2$ (توجه: $y - (-2) = y+2$) و $r^2 = 25$ ⇒ $r = 5$. بنابراین مرکز $(3, -2)$ و شعاع $5$ است.

3. حالت خاص: دایره به مرکز مبدأ مختصات

اگر مرکز دایره بر روی مبدأ مختصات $(0,0)$ قرار گیرد، آنگاه $\alpha = 0$ و $\beta = 0$، و معادلهٔ دایره به شکل ساده‌تر زیر در می‌آید:

$x^2 + y^2 = r^2$

این حالت پرکاربردترین شکل معادلهٔ دایره در مسائل هندسهٔ تحلیلی است. برای نمونه، دایرهٔ واحد⁴ که شعاع آن $r = 1$ است، معادلهٔ $x^2 + y^2 = 1$ را دارد.

4. کاربرد عملی: شناسایی دایره از روی معادلهٔ درجه دوم عمومی

گاهی معادلهٔ دایره به صورت گستردهٔ $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ نوشته می‌شود. برای یافتن مرکز و شعاع، باید آن را به فرم استاندارد تبدیل کنیم. روش کار، تکمیل مربع‌ها⁵ برای متغیرهای $x$ و $y$ است.

مراحل تبدیل:
معادلهٔ $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ را در نظر بگیرید. عبارات $x$ و $y$ را جدا می‌کنیم:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

به هر دو طرف معادله، به ترتیب $(D/2)^2$ و $(E/2)^2$ را اضافه می‌کنیم:

$(x^2 + Dx + (D/2)^2) + (y^2 + Ey + (E/2)^2) = -F + (D/2)^2 + (E/2)^2$

حال دو عبارت داخل پرانتز به ترتیب مربع‌های کامل $(x + D/2)^2$ و $(y + E/2)^2$ هستند. بنابراین:

$(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

از این شکل، مرکز $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ و شعاع $r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$ به دست می‌آید (به شرطی که عبارت زیر رادیکال مثبت باشد).

مثال عددی: معادلهٔ $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ را در نظر بگیرید. در اینجا $D = -4$، $E = 6$، $F = -3$. با تکمیل مربع: $(x^2 -4x +4) + (y^2+6y+9) = -3 +4 +9$ ⇒ $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 10$. بنابراین مرکز $(2, -3)$ و شعاع $\sqrt{10}$ است.

5. چالش‌های مفهومی

6. جمع‌بندی

پاورقی

¹ دایره (Circle): مجموعه نقاط هم‌فاصله از یک نقطهٔ ثابت در صفحه.

² مرکز (Center): نقطهٔ ثابت و مشخصی که فاصلهٔ همهٔ نقاط دایره تا آن برابر با شعاع است.

³ شعاع (Radius): فاصلهٔ ثابت بین مرکز و هر نقطه روی دایره که با $r$ نمایش داده می‌شود.

⁴ دایرهٔ واحد (Unit Circle): دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و با شعاع برابر $1$.

⁵ تکمیل مربع (Completing the Square): روش جبری برای تبدیل یک عبارت درجه دوم به مجموع یک مربع کامل و یک عدد ثابت.