دترمینان ماتریس قطری: حاصلضرب درایههای روی قطر اصلی
ماتریس قطری چیست و چه ویژگیهایی دارد؟
ماتریس قطری1 نوع خاصی از ماتریس مربعی است که تمام درایههای خارج از قطر اصلی آن برابر صفر هستند. به عبارت دیگر، اگر $A = [a_{ij}] یک ماتریس $n \times n$ باشد، آنگاه $a_{ij} = 0$ برای هر $i \neq j$. درایههای روی قطر اصلی یعنی $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ میتوانند هر عدد حقیقی (یا مختلط) باشند. ماتریس قطری معمولاً به صورت $\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ نمایش داده میشود.
مثال ساده: فرض کنید ماتریس $B = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ را داریم. این یک ماتریس قطری $2 \times 2$ است. درایههای روی قطر اصلی آن $5$ و $-2$ هستند. طبق قاعدهای که در ادامه میآموزیم، دترمینان این ماتریس برابر $5 \times (-2) = -10$ خواهد بود.
فرمول دترمینان ماتریس قطری و اثبات گامبهگام
برای ماتریس قطری $D = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ داریم:
اثبات با استفاده از بسط لاپلاس2: میتوانیم دترمینان ماتریس قطری را با بسط لاپلاس نسبت به سطر اول محاسبه کنیم. در ماتریس قطری، در سطر اول فقط اولین درایه (یعنی $d_1$) غیرصفر است و بقیه درایهها صفرند. بنابراین بسط لاپلاس به صورت زیر در میآید:
که در آن $D_{11}$ ماتریس حاصل از حذف سطر اول و ستون اول است. اما $D_{11}$ خود یک ماتریس قطری با قطر $d_2, d_3, \dots, d_n$ است. با تکرار این فرایند به دست میآید:
این قاعده برای ماتریسهای قطری در هر ابعادی (حتی $1 \times 1$) برقرار است. برای ماتریس $1 \times 1$ مانند $[5]$، دترمینان برابر خود درایه یعنی $5$ است که با حاصلضرب یکعاملی مطابقت دارد.
مقایسه دترمینان در ماتریسهای قطری، همانی و اسکالر
| نوع ماتریس | تعریف | فرمول دترمینان | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| ماتریس قطری | درایههای خارج از قطر صفر | $\prod_{i=1}^{n} d_i$ | $\operatorname{diag}(3, -1, 4) \Rightarrow 3 \times (-1) \times 4 = -12$ |
| ماتریس همانی3 | ماتریس قطری با درایههای قطر برابر $1$ | $1$ | $I_3 \Rightarrow \det = 1$ |
| ماتریس اسکالر4 | ماتریس قطری با تمام درایههای قطر برابر $c$ | $c^n$ | $\operatorname{diag}(2,2,2) \Rightarrow 2^3 = 8$ |
کاربرد عملی: محاسبه حجم در تبدیلهای خطی
یکی از کاربردهای مهم دترمینان ماتریس قطری در تبدیلهای خطی5 است. فرض کنید تبدیل خطی $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ با ماتریس قطری $D = \operatorname{diag}(a, b, c)$ نمایش داده میشود. این تبدیل بردار پایه $\mathbf{e}_1 = (1,0,0)$ را به $(a,0,0)$، $\mathbf{e}_2 = (0,1,0)$ را به $(0,b,0)$ و $\mathbf{e}_3$ را به $(0,0,c)$ نگاشت میکند. بنابراین مکعب واحد با حجم $1$ به یک مکعب مستطیل با اضلاع $|a|$، $|b|$ و $|c|$ تبدیل میشود. حجم این مکعب مستطیل برابر $|a \times b \times c| = |\det(D)|$ است. این تفسیر هندسی نشان میدهد که چرا دترمینان مقدار کشیدگی یا فشردگی حجم را اندازه میگیرد.
مثال عددی: ماتریس قطری $D = \operatorname{diag}(2, 0.5, 3)$ را در نظر بگیرید. حجم یک مکعب واحد پس از اعمال این تبدیل برابر $|2 \times 0.5 \times 3| = |3| = 3$ خواهد بود. یعنی حجم سه برابر شده است (کشیدگی در راستای محور $x$ و $z$ و فشردگی در راستای $y$).
چالشهای مفهومی
پاسخ: حاصلضرب شامل آن عدد صفر خواهد بود. بنابراین دترمینان کل ماتریس برابر صفر میشود. چنین ماتریسی وارونپذیر6 نیست و تبدیل خطی متناظر با آن، فضا را به ابعاد پایینتر تصویر میکند.
پاسخ: خیر، این قاعده فقط برای ماتریسهای قطری معتبر است. برای یک ماتریس مربعی معمولی، دترمینان به مراتب پیچیدهتر محاسبه میشود و به سادگی حاصلضرب درایههای قطر نیست. برای مثال، ماتریس $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ دترمینان $(1 \times 4) - (2 \times 3) = -2$ دارد در حالی که حاصلضرب درایههای قطر $1 \times 4 = 4$ است.
پاسخ: بله، اگر تعداد فردی از درایههای قطر اصلی منفی باشند، حاصلضرب آنها منفی خواهد شد. دترمینان منفی به معنای وارونگی جهتگیری7 در تبدیل خطی است. برای مثال، ماتریس $\operatorname{diag}(1, -1)$ دترمینان $-1$ دارد و تبدیل آن معادل یک بازتاب نسبت به محور $x$ است.
پاورقی
2 بسط لاپلاس (Laplace Expansion): روشی برای محاسبه دترمینان بر اساس ترکیب خطی دترمینانهای کوچکتر.
3 ماتریس همانی (Identity Matrix): ماتریس قطری با درایههای قطر اصلی برابر ۱ که عنصر خنثی ضرب ماتریسی است.
4 ماتریس اسکالر (Scalar Matrix): ماتریس قطری که تمام درایههای قطر اصلی آن با هم برابر و مساوی یک عدد ثابت مانند c هستند.
5 تبدیل خطی (Linear Transformation): تابعی بین فضاهای برداری که جمع و ضرب اسکالر را حفظ میکند.
6 وارونپذیر (Invertible): ماتریسی که دارای ماتریس وارونه (معکوس) باشد؛ شرط لازم و کافی آن غیرصفر بودن دترمینان است.
7 وارونگی جهتگیری (Orientation Reversal): خاصیتی از تبدیل خطی که در آن جهت فضا (مانند راستگرد به چپگرد) تغییر میکند.