محاسبه درایه c_ij حاصل از ضرب سطر در ستون
مفهوم درایه c_ij و نقش آن در ضرب ماتریسها
در جبر خطی2، ضرب دو ماتریس یکی از بنیادیترین عملیاتها است. اگر ماتریس A با ابعاد m \times n و ماتریس B با ابعاد n \times p داشته باشیم، حاصل ضرب C = A \times B ماتریسی با ابعاد m \times p خواهد بود. هر درایه از ماتریس C که آن را c_{ij} مینامیم ( i شماره سطر و j شماره ستون)، حاصل ضرب سطر iام ماتریس A در ستون jام ماتریس B است.
روش دقیق محاسبه به این صورت است: هر عضو از سطر iام ماتریس A را در عضو متناظر آن در ستون jام ماتریس B ضرب کرده و سپس تمام این حاصلضربها را با هم جمع میکنیم. به این عمل «ضرب داخلی» یا «ضرب نقطهای» گویند.
شرط مجاز بودن ضرب و بررسی ابعاد
قبل از هر محاسبهای، باید بررسی کنید که تعداد ستونهای ماتریس اول (A) با تعداد سطرهای ماتریس دوم (B) برابر باشد. در غیر این صورت، عمل ضرب تعریف نشده است.
<!-- جدول مقایسه ابعاد -->| ابعاد ماتریس اول (A) | ابعاد ماتریس دوم (B) | امکان ضرب | ابعاد حاصل (C) |
|---|---|---|---|
| 2 \times 3 | 3 \times 4 | مجاز | 2 \times 4 |
| 3 \times 2 | 2 \times 5 | مجاز | 3 \times 5 |
| 2 \times 4 | 3 \times 2 | نامجاز | —— |
برای درک بهتر، یک مثال عملی گامبهگام را بررسی میکنیم. فرض کنید میخواهیم درایه c_{21} (سطر دوم، ستون اول) حاصل ضرب را محاسبه کنیم.
ماتریس A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} و ماتریس B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}
میخواهیم c_{21} را بیابیم. طبق فرمول: $c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31}$
عددها را جایگزین میکنیم: $c_{21} = (4 \times 7) + (5 \times 9) + (6 \times 11) = 28 + 45 + 66 = 139$
کاربرد عملی: محاسبه قیمت کل محصولات در یک فروشگاه
فرض کنید یک فروشگاه دارای 3 نوع کالا است و 2 مشتری مقادیر مختلفی از هر کالا را خریداری کردهاند. ماتریس مقدار (A) با ابعاد 2 \times 3 نشاندهنده تعداد کالاهای خریداریشده توسط هر مشتری است. ماتریس قیمت (B) با ابعاد 3 \times 1 نشاندهنده قیمت هر واحد کالا است. درایه c_{21} در حاصل ضرب، مبلغی را نشان میدهد که مشتری دوم باید بپردازد. این همان ضرب سطر دوم ماتریس مقدار در ستون قیمتها است.
به این ترتیب با یکبار ضرب ماتریسها، میتوان مبلغ پرداختی همه مشتریان را به طور همزمان محاسبه کرد. این روش در برنامهنویسی، علوم داده و اقتصاد کاربرد گستردهای دارد.
چالشهای مفهومی در محاسبه درایه c_ij
پاسخ: زیرا برای محاسبه هر درایه c_ij، باید عضوهای متناظر از سطر iام و ستون jام به تعداد برابر وجود داشته باشند تا بتوان آنها را جفتجفت ضرب و جمع کرد. اگر این تعداد برابر نباشد، عمل ضرب داخلی تعریف نمیشود.
پاسخ: خیر، ضرب ماتریسها خاصیت جابهجایی ندارد. حتی اگر هر دو ضرب ممکن باشند (که معمولاً ابعاد اجازه نمیدهد)، حاصلها معمولاً متفاوت هستند. بنابراین باید به ترتیب ضرب دقت کرد.
پاسخ: اگر ماتریس اول یک سطر داشته باشد (بردار سطری3) و ماتریس دوم یک ستون (بردار ستونی4)، آنگاه حاصل ضرب یک عدد (اسکالر) است که از ضرب داخلی همان یک سطر در همان یک ستون به دست میآید. اگر ماتریس اول یک سطر و ماتریس دوم چند ستون داشته باشد، حاصل یک ماتریس سطری است که هر درایه آن از ضرب آن سطر در هر ستون ماتریس دوم محاسبه میشود.
پاورقی
2 جبر خطی (Linear Algebra): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه بردارها، فضاهای برداری، ماتریسها و تبدیلات خطی میپردازد.
3 بردار سطری (Row Vector): ماتریسی با یک سطر و چند ستون.
4 بردار ستونی (Column Vector): ماتریسی با چند سطر و یک ستون.