ماتریس اسکالر: ماتریس قطری که همهٔ درایههای روی قطر اصلی آن با هم برابر باشند
تعریف و ساختار ماتریس اسکالر
در جبر خطی، ماتریس اسکالر1 نوع خاصی از ماتریس قطری2 است. ماتریس قطری به ماتریسی گفته میشود که تمام درایههای خارج از قطر اصلی (از بالا‑چپ به پایین‑راست) برابر با صفر باشند. اگر علاوه بر این، تمام درایههای روی قطر اصلی با یکدیگر برابر باشند، آن ماتریس را ماتریس اسکالر مینامیم. به عبارت دیگر، ماتریس اسکالر به شکل $cI_n$ نوشته میشود که در آن $c$ یک عدد حقیقی یا مختلط (اسکالر) و $I_n$ ماتریس یکه3 از مرتبه $n$ است.
مثال ۱: برای مرتبه 2، یک ماتریس اسکالر با اسکالر $c = 5$ به صورت زیر است:
میبینید که درایههای قطر اصلی هر دو 5 هستند و درایههای غیرقطری صفر میباشند. بنابراین این ماتریس هم قطری است و هم اسکالر.
مثال ۲: ماتریس اسکالر مرتبه 3 با اسکالر $c = -2$:
نکته مهم: ماتریس یکه $I_n$ خود یک ماتریس اسکالر است با $c = 1$. همچنین ماتریس صفر (همه درایهها صفر) نیز یک ماتریس اسکالر با $c = 0$ محسوب میشود.
| نوع ماتریس | شرط درایههای قطر اصلی | شرط درایههای غیرقطری | مثال (مرتبه 3) |
|---|---|---|---|
| ماتریس اسکالر | همه برابر با مقدار ثابت $c$ | همه صفر | $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ |
| ماتریس قطری (غیر اسکالر) | میتوانند متفاوت باشند | همه صفر | $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ |
| ماتریس یکه | همه 1 | همه صفر | $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ |
ویژگیهای جبری ماتریس اسکالر
ماتریس اسکالر دارای ویژگیهای سادهکنندهٔ بسیاری است که در محاسبات ماتریسی بسیار مفید میباشند:
۱. جابهجاییپذیری با هر ماتریس هممرتبه: اگر $A$ یک ماتریس اسکالر به صورت $cI_n$ و $B$ هر ماتریس $n \times n$ باشد، آنگاه:
بنابراین ماتریس اسکالر با همهٔ ماتریسهای هممرتبه خود جابهجا میشود. این ویژگی فقط برای ماتریسهای اسکالر (و مضربهایی از ماتریس یکه) صادق است.
۲. ضرب در اسکالر: ضرب یک ماتریس اسکالر $cI_n$ در یک عدد حقیقی $k$ دوباره یک ماتریس اسکالر میدهد:
۳. جمع ماتریسهای اسکالر: جمع دو ماتریس اسکالر $c_1 I_n$ و $c_2 I_n$ نیز یک ماتریس اسکالر است:
۴. دترمینان و اثر (ردی): برای یک ماتریس اسکالر $cI_n$ از مرتبه $n$ داریم:
- دترمینان: $\det(cI_n) = c^n$
- اثر (مجموع درایههای قطر اصلی): $\operatorname{tr}(cI_n) = n \cdot c$
کاربرد عملی: سادهسازی معادلات ماتریسی در دبیرستان
فرض کنید در یک مسئله، معادلهٔ ماتریسی $2X + 3I = 5I$ داده شده است و میخواهیم ماتریس $X$ را پیدا کنیم. با دانستن اینکه $I$ ماتریس یکه (که خود اسکالر با 1 است) میباشد، میتوانیم معادله را به صورت زیر حل کنیم:
بدین ترتیب، بدون نیاز به نوشتن درایههای ماتریس، مستقیماً جواب را به دست آوردیم. این روش در حل دستگاههای معادلات خطی که به فرم ماتریسی نوشته میشوند، بسیار کارآمد است.
مثال عددی دیگر: فرض کنید ماتریس اسکالر $A = 4I_2$ را در نظر بگیرید. اگر $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ باشد، آنگاه حاصلضرب $AB$ برابر است با:
همانطور که میبینید، ضرب در ماتریس اسکالر معادل ضرب اسکالر در تمام درایههای ماتریس دیگر است.
چالشهای مفهومی
۱. آیا هر ماتریس قطری لزوماً اسکالر است؟
خیر. ماتریس قطری فقط شرط صفر بودن درایههای خارج از قطر را دارد، اما درایههای روی قطر میتوانند متفاوت باشند. ماتریس اسکالر شرط اضافی برابری همهٔ درایههای قطر را نیز دارد. برای مثال ماتریس $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ قطری است ولی اسکالر نیست.
۲. چرا ماتریس اسکالر با همهٔ ماتریسها جابهجا میشود؟
زیرا $cI_n$ در واقع ضرب اسکالر $c$ در ماتریس یکه است. ماتریس یکه عنصر خنثی ضرب ماتریسی است و ضرب هر ماتریس در یک اسکالر، خاصیت جابهجایی دارد. بنابراین $(cI_n)B = cB = B(cI_n)$. این ویژگی فقط برای ماتریسهای اسکالر صادق است.
۳. آیا ماتریس اسکالر معکوسپذیر است؟ چه زمانی؟
ماتریس اسکالر $cI_n$ معکوسپذیر است اگر و تنها اگر $c \neq 0$. در این صورت معکوس آن برابر است با $\frac{1}{c} I_n$ که خود یک ماتریس اسکالر دیگر است. اگر $c = 0$، ماتریس صفر به دست میآید که معکوس ندارد.
پاورقی
1 ماتریس اسکالر (Scalar Matrix): ماتریس قطری که همهٔ درایههای روی قطر اصلی آن با هم برابر باشند و درایههای خارج از قطر صفر باشند.
2 ماتریس قطری (Diagonal Matrix): ماتریسی که تمام درایههای خارج از قطر اصلی آن صفر هستند، بدون الزام برابری درایههای قطر.
3 ماتریس یکه (Identity Matrix): ماتریس قطری که همهٔ درایههای قطر اصلی آن برابر با عدد 1 هستند. معمولاً با $I_n$ نمایش داده میشود.