قطر اصلی: در ماتریس مربعی، مجموعهٔ درایه‌هایی که روی مسیر i=j قرار دارند.

قطر اصلی در ماتریس مربعی: از تعریف تا کاربردهای عملی

تعریف قطر اصلی و تشخیص آن در ماتریس مربعی

ماتریس مربعی¹ آرایه‌ای از اعداد است که تعداد سطرها و ستون‌های آن برابر باشد. اگر یک ماتریس دارای n سطر و n ستون باشد، آن را ماتریس n \times n می‌نامیم. در چنین ماتریسی، «قطر اصلی»² از خانه‌هایی تشکیل می‌شود که شماره سطر (i) و شماره ستون (j) با هم برابر باشند. به عبارت ساده‌تر، درایه‌هایی که روی مسیر از گوشهٔ بالا-چپ به گوشهٔ پایین-راست قرار می‌گیرند، روی قطر اصلی هستند.

برای نمونه، ماتریس مربعی زیر را در نظر بگیرید:

در این ماتریس، درایه‌های قطر اصلی عبارتند از: a_{11}=2، a_{22}=3 و a_{33}=6. همان‌طور که می‌بینید، برای هر کدام از این درایه‌ها شماره سطر و ستون یکسان است.

در یک ماتریس مربعی n \times n، تعداد درایه‌های روی قطر اصلی دقیقاً برابر n است. بنابراین در ماتریس 3 \times 3، 3 درایه روی قطر اصلی داریم. برای یک ماتریس 5 \times 5 نیز 5 درایه روی قطر اصلی وجود دارد.

نکتهٔ عملی: فرض کنید در کلاس ریاضی، معلم ماتریسی 4 \times 4 داده و از شما می‌خواهد مجموع درایه‌های قطر اصلی را پیدا کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که خانه‌های (۱و۱)، (۲و۲)، (۳و۳) و (۴و۴) را پیدا کرده و آن‌ها را با هم جمع کنید. این فرایند بعدها با نام «رد ماتریس»³ آشنا خواهید شد.

رد ماتریس و ارتباط با قطر اصلی

در جبر خطی مقدماتی، یکی از مهم‌ترین مفاهیمی که به قطر اصلی مرتبط است، «رد ماتریس»³ نام دارد. رد یک ماتریس مربعی برابر است با مجموع تمام درایه‌های واقع بر روی قطر اصلی. اگر ماتریس A با درایه‌های a_{ij} داده شده باشد، رد آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

برای ماتریس A که در بخش قبل دیدیم، رد به صورت زیر محاسبه می‌شود:

رد ماتریس کاربردهای زیادی دارد؛ برای نمونه در برخی مسائل فیزیک و اقتصاد، رد یک ماتریس نشان‌دهندهٔ مقدار کل یا اثر یک سیستم است. همچنین اگر دو ماتریس مربعی A و B داشته باشیم، همواره $\text{رد}(A+B) = \text{رد}(A) + \text{رد}(B)$ برقرار است.

نقش قطر اصلی در محاسبهٔ دترمینان

دترمینان⁴ یک ماتریس مربعی عددی است که اطلاعات مهمی دربارهٔ ماتریس می‌دهد. برای ماتریس‌های 2 \times 2، فرمول دترمینان مستقیماً از درایه‌های قطر اصلی و قطر فرعی استفاده می‌کند:

در این فرمول، a و d روی قطر اصلی قرار دارند. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر نیز روش بسط لاپلاس یا تبدیل به ماتریس مثلثی، قطر اصلی نقش کلیدی پیدا می‌کند. اگر ماتریسی مثلثی بالایی⁵ یا مثلثی پایینی⁶ باشد (یعنی تمام درایه‌های زیر یا بالای قطر اصلی صفر باشند)، دترمینان آن برابر است با حاصل‌ضرب درایه‌های روی قطر اصلی:

این ویژگی محاسبهٔ دترمینان ماتریس‌های بزرگ را بسیار ساده می‌کند.

مثال عینی: استفاده از قطر اصلی در مسائل روزمره

فرض کنید یک فروشگاه زنجیره‌ای دارای 3 شعبه است و در هر شعبه 3 نوع کالا می‌فروشد. ماتریس S زیر میزان فروش (به میلیون تومان) هر کالا را در هر شعبه نشان می‌دهد. سطرها نشان‌دهندهٔ شعبه و ستون‌ها نشان‌دهندهٔ نوع کالا هستند:

درایه‌های روی قطر اصلی (10، 8 و 9) نشان‌دهندهٔ فروش کالای نوع اول در شعبه اول، کالای نوع دوم در شعبه دوم و کالای نوع سوم در شعبه سوم است. مجموع این درایه‌ها (10+8+9=27) همان رد ماتریس است که می‌توان آن را «شاخص تطابق شعبه با کالای تخصیص‌یافته» تفسیر کرد. هرچه این مقدار بیشتر باشد، فروش در حالت «شعبه متناسب با کالای خود» موفق‌تر بوده است.

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ ماتریس مربعی (Square Matrix): ماتریسی که تعداد سطرها و ستون‌های آن برابر باشد.

² قطر اصلی (Main Diagonal): مجموعه درایه‌های a_{ij} از یک ماتریس که در آن i = j.

³ رد ماتریس (Trace of a Matrix): مجموع درایه‌های واقع بر روی قطر اصلی یک ماتریس مربعی.

⁴ دترمینان (Determinant): عددی که از درایه‌های یک ماتریس مربعی محاسبه می‌شود و ویژگی‌هایی مانند وارون‌پذیری ماتریس را نشان می‌دهد.

⁵ ماتریس مثلثی بالایی (Upper Triangular Matrix): ماتریس مربعی که تمام درایه‌های زیر قطر اصلی آن صفر باشند.

⁶ ماتریس مثلثی پایینی (Lower Triangular Matrix): ماتریس مربعی که تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر باشند.

⁷ مقدار ویژه (Eigenvalue): عددی مانند $\lambda$ که برای ماتریس A معادلهٔ $A v = \lambda v$ را برای بردار ناصفر v برآورده کند.