ضرب خارجی بردارها: عملی برای ساخت بردار عمود در فضای سهبعدی
تعریف هندسی و جبری ضرب خارجی
ضرب خارجی دو بردار A و B که با نماد $ \vec{A} \times \vec{B} $ نشان داده میشود، تنها در فضای سهبعدی تعریف شده است. نتیجه این عملیات، یک بردار جدید مانند C است که هم به A و هم به B عمود میباشد. اندازه این بردار از رابطه $ |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta $ به دست میآید، که $ \theta $ زاویه بین دو بردار است. جهت بردار حاصل توسط قانون دست راست تعیین میشود: اگر انگشتان دست راست را از A به سمت B بپیچانید، شست جهت C را نشان میدهد.
روش محاسبه با دترمینان و مؤلفههای بردار
اگر دو بردار به صورت مؤلفهای داده شوند: $ \vec{A} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k} $ و $ \vec{B} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k} $، آنگاه ضرب خارجی از دترمینان زیر محاسبه میشود:
با بسط دترمینان، مؤلفههای بردار حاصل به دست میآیند:
مثال گامبهگام: فرض کنید $ \vec{A} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 3\hat{k} $ و $ \vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k} $. ابتدا دترمینان را مینویسیم:
مؤلفه i: $ (1)(1) - (3)(-2) = 1 + 6 = 7 $
مؤلفه j: $ -[ (2)(1) - (3)(4) ] = -[ 2 - 12 ] = -(-10) = 10 $
مؤلفه k: $ (2)(-2) - (1)(4) = -4 - 4 = -8 $
نتیجه: $ \vec{A} \times \vec{B} = 7\hat{i} + 10\hat{j} - 8\hat{k} $. راستیآزمایی: ضرب داخلی این بردار با A صفر است (عمودی بودن تأیید شد).
| ویژگی | ضرب داخلی (نقطهای) | ضرب خارجی (برداری) |
|---|---|---|
| نتیجه | عدد نردبانی (اسکالر) | بردار |
| نماد | $ \vec{A} \cdot \vec{B} $ | $ \vec{A} \times \vec{B} $ |
| اندازه | $ |A||B|\cos\theta $ | $ |A||B|\sin\theta $ |
| جهت | فاقد جهت (نردبانی) | عمود بر صفحهٔ دو بردار |
| کاربرد مشهور | کار انجام شده توسط نیرو | گشتاور نیرو، مساحت متوازیالاضلاع |
کاربرد عملی: مساحت متوازیالاضلاع و گشتاور نیرو
یکی از کاربردهای مستقیم ضرب خارجی، محاسبه مساحت متوازیالاضلاعی است که دو بردار A و B دو ضلع مجاور آن را تشکیل میدهند. مساحت برابر با اندازه بردار حاصل از ضرب خارجی است: $ \text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}| $. در فیزیک، گشتاور نیرو ($ \vec{\tau} $) نسبت به یک نقطه از ضرب خارجی بردار مکان (r) و بردار نیرو (F) به دست میآید: $ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $. همچنین در مغناطیس، نیروی وارد بر یک بار متحرک در میدان مغناطیسی از رابطه $ \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} $ محاسبه میشود که باز هم یک ضرب خارجی است.
چالشهای مفهومی در ضرب خارجی
زیرا در فضای دوبعدی، بردار عمود بر دو بردار غیرهمخط، از صفحه خارج میشود و در همان فضا جای نمیگیرد. در ابعاد بالاتر از سه، تعداد جهات عمود زیاد است و یکتا نیست. بنابراین تعریف ضرب خارجی استاندارد به فضای سهبعدی محدود میشود.
بله، ضرب خارجی خاصیت پادجابجایی دارد: $ \vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A}) $. اگر ترتیب عوض شود، بردار حاصل در جهت مخالف قرار میگیرد. این برخلاف ضرب داخلی است که جابجایی در آن تغییری ایجاد نمیکند ($ \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} $).
اگر $ \theta = 0^\circ $ یا $ 180^\circ $، آنگاه $ \sin\theta = 0 $ و اندازه ضرب خارجی صفر میشود. بردار حاصل، بردار صفر است. این به این معناست که دو بردار موازی (یا پادموازی) هیچ سطح متوازیالاضلاعی نمیسازند و گشتاور تولید نمیکنند.
پاورقی
1 ضرب خارجی (Cross Product): عملیات دوتایی روی دو بردار در فضای سهبعدی که نتیجه آن بردار عمود بر هر دو بردار اولیه است.
2 قانون دست راست (Right-Hand Rule): روش قراردادی برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب خارجی: اگر انگشتان دست راست از جهت بردار اول به سوی بردار دوم خم شوند، شست جهت بردار حاصل را نشان میدهد.
3 دترمینان (Determinant): تابعی از یک ماتریس مربع که مقدار عددی آن در جبر خطی برای حل دستگاه معادلات و محاسبه ضرب خارجی استفاده میشود.
4 گشتاور نیرو (Torque): کمیت برداری در فیزیک که تمایل یک نیرو به چرخاندن یک جسم حول یک محور را نشان میدهد و از ضرب خارجی بردار مکان و نیرو به دست میآید.
5 خاصیت پادجابجایی (Anticommutativity): ویژگی یک عمل دوتایی که در آن جابجایی عملوندها باعث تغییر علامت نتیجه میشود: $ A \times B = - (B \times A) $.