کنار هم بودن چند حرف: روشهای شمارش در جایگشت
آموزش گامبهگام تکنیک «یکپنداری» برای محاسبه حالاتی که در آن چند عنصر مشخص همواره مجاور هستند
در مسائل جایگشت1، گاهی شرط میشود که چند حرف یا چند شیء خاص همواره در کنار یکدیگر قرار بگیرند. روش استاندارد برای حل این گونه مسائل، «یکپنداری»2 یا «طنابپیچ کردن» اعضای مورد نظر است. با این تکنیک، ابتدا اعضای ملزم به همنشینی را یک واحد در نظر گرفته، جایگشت واحدها را حساب کرده و سپس جایگشت داخلی اعضای آن واحد را در نتیجه ضرب میکنیم. این مقاله به زبانی ساده و با مثالهای گوناگون، این مفهوم کلیدی در ریاضیات دبیرستان را شرح میدهد.
مفهوم «یکپنداری» و چرایی استفاده از آن
در علم شمارش، به ویژه مبحث جایگشت، گاهی مسئله شرایط خاصی را برای چیدمان اشیا تعیین میکند. یکی از رایجترین این شرایط آن است که گروهی از اشیا (مثلاً چند حرف از یک کلمه یا چند نفر از یک گروه) باید همیشه در کنار یکدیگر قرار بگیرند. به عبارت دیگر، مجاورت آنها الزامی است و هیچ شیء دیگری نمیتواند بین آنها فاصله بیندازد . برای مثال، فرض کنید میخواهیم حروف کلمه «آموزش» را طوری مرتب کنیم که سه حرف «آ»، «م» و «و» همیشه پشت سر هم و به ترتیب خاص خود (آمو) بیایند. در نگاه اول شاید تصور کنیم باید تکتک جایگشتها را بنویسیم و بشماریم، اما برای حالات بزرگتر این کار غیرممکن است. در اینجا تکنیک «یکپنداری» یا «طنابپیچ کردن» به کمک ما میآید. در این روش، اعضایی که باید مجاور باشند را با یک طناب فرضی به هم میبندیم و آنها را به عنوان یک «بلوک» یا یک «شیء واحد» در نظر میگیریم . با این کار، مسئله از حالت پیچیده به حالت سادهتری تبدیل میشود.
✳️ فرمول کلی (بدون ترتیب خاص داخلی): اگر بخواهیم k شیء از n شیء متمایز همواره در کنار هم باشند (بدون آنکه ترتیب خاصی بین آنها مد نظر باشد)، تعداد جایگشتها برابر است با:
$ (n - k + 1)! \times k! $
در این فرمول، $(n - k + 1)!$ تعداد حالات چیدمان بلوک واحد (به همراه سایر اشیا) و $k!$ تعداد حالات جابجایی اعضا درون بلوک است.
$ (n - k + 1)! \times k! $
در این فرمول، $(n - k + 1)!$ تعداد حالات چیدمان بلوک واحد (به همراه سایر اشیا) و $k!$ تعداد حالات جابجایی اعضا درون بلوک است.
حالت اول: کنار هم بودن با ترتیب خاص
گاهی اوقات نه تنها باید چند حرف خاص کنار هم باشند، بلکه ترتیب قرار گرفتن آنها در کنار هم نیز از پیش تعیین شده است. مثلاً در کلمه «کتابخانه»، بخواهیم حروف «ک»، «ت»، «ا»، «ب» دقیقاً به همان ترتیب «کتاب» کنار هم قرار گیرند. در این حالت، دیگر نیازی به محاسبه جایگشت داخلی نیست، زیرا اعضای بلوک فقط یک شکل مشخص میتوانند در کنار هم بایستند.
✳️ مثال: به چند طریق میتوان حروف کلمه COMPUTER را مرتب کرد که حروف COM دقیقاً به همین ترتیب کنار هم باشند ؟
گام ۱: حروف C، O و M را به دلیل داشتن ترتیب خاص، به عنوان یک بلوک واحد در نظر میگیریم.
گام ۲: حالا به جای ۸ حرف جداگانه، ۶ شیء داریم: {COM}، P، U، T، E، R. تعداد حالات چیدمان این ۶ شیء متمایز برابر است با $6!$.
گام ۳: چون ترتیب داخل بلوک (C, O, M) از قبل مشخص است، آن را در یک حالت حساب میکنیم و نیازی به ضرب نیست.
پاسخ: بنابراین تعداد کل حالات برابر $6! = 720$ است.
گام ۱: حروف C، O و M را به دلیل داشتن ترتیب خاص، به عنوان یک بلوک واحد در نظر میگیریم.
گام ۲: حالا به جای ۸ حرف جداگانه، ۶ شیء داریم: {COM}، P، U، T، E، R. تعداد حالات چیدمان این ۶ شیء متمایز برابر است با $6!$.
گام ۳: چون ترتیب داخل بلوک (C, O, M) از قبل مشخص است، آن را در یک حالت حساب میکنیم و نیازی به ضرب نیست.
پاسخ: بنابراین تعداد کل حالات برابر $6! = 720$ است.
حالت دوم: کنار هم بودن بدون ترتیب خاص
در این حالت، اعضای بلوک میتوانند هر ترتیبی را درون خود داشته باشند. رایجترین مثال برای این حالت، چیدن افراد یک خانواده در کنار هم است .
✳️ مثال: اعضای یک خانواده شامل ۵ پسر و ۴ دختر میخواهند برای یک عکس دستهجمعی در یک صف بایستند. به چند طریق میتوان آنها را چیدمان کرد که همه پسرها در کنار یکدیگر باشند (یعنی هیچ دختری بین پسرها نباشد) ؟
گام ۱: پسرها را به عنوان یک گروه (بلوک) در نظر میگیریم.
گام ۲: حالا ۴ دختر + ۱ بلوک پسرها = ۵ شیء داریم. تعداد حالات چیدمان این ۵ شیء در یک ردیف برابر $5!$ است.
گام ۳: درون بلوک پسرها، ۵ پسر متمایز را میتوان به $5!$ حالت مختلف جابجا کرد.
گام ۴: با استفاده از اصل ضرب، تعداد کل حالات برابر است با: $ 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400 $.
گام ۱: پسرها را به عنوان یک گروه (بلوک) در نظر میگیریم.
گام ۲: حالا ۴ دختر + ۱ بلوک پسرها = ۵ شیء داریم. تعداد حالات چیدمان این ۵ شیء در یک ردیف برابر $5!$ است.
گام ۳: درون بلوک پسرها، ۵ پسر متمایز را میتوان به $5!$ حالت مختلف جابجا کرد.
گام ۴: با استفاده از اصل ضرب، تعداد کل حالات برابر است با: $ 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400 $.
| نوع شرط | روش حل | فرمول کلی | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| ترتیب داخلی مشخص | بلوککردن و جایگشت بلوکها | $(n-k+1)!$ | $6!$ برای COM در COMPUTER |
| ترتیب داخلی دلخواه | بلوککردن × جایگشت داخلی اعضا | $(n-k+1)! \times k!$ | $5! \times 5!$ برای ۵ پسر کنار هم |
کاربرد عملی: چیدن کتابها با موضوع مشترک
✳️ مسئله: یک دانشآموز ۷ کتاب مختلف دارد که ۳ تای آنها ریاضی و ۴ تای آنها فیزیک هستند. او میخواهد این کتابها را در قفسهای بچیند. به چند طریق میتواند این کار را انجام دهد اگر کتابهای ریاضی باید کنار یکدیگر قرار بگیرند ؟✳️ تحلیل: این مسئله دقیقاً مشابه مثال خانواده ۵ پسر و ۴ دختر است. کتابهای ریاضی نقش «پسرها» و کتابهای فیزیک نقش «دخترها» را دارند .
- گام ۱: ۳ کتاب ریاضی را به عنوان یک بلوک در نظر میگیریم.
- گام ۲: تعداد کل اشیاء برای چیدمان: ۱ بلوک ریاضی + ۴ کتاب فیزیک = ۵ شیء. تعداد جایگشتهای این ۵ شیء: $5! = 120$.
- گام ۳: تعداد حالات جابجایی ۳ کتاب ریاضی درون بلوک: $3! = 6$.
- پاسخ نهایی:$120 \times 6 = 720$ حالت مختلف برای چیدن کتابها با شرط داده شده.
چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: اگر بخواهیم سه حرف خاص در یک کلمه ۶ حرفی کنار هم باشند، چرا تعداد حالات را $ (6-3+1)! \times 3! $ مینویسیم ؟
✅ پاسخ: چون با یکپنداری، ۳ حرف به یک بلوک تبدیل میشوند و به همراه ۳ حرف دیگر (مجموعاً ۴ واحد) جایگشت مییابند ($4!$). سپس باید ضرب در جایگشت داخلی ۳ حرف ($3!$) شود.
✅ پاسخ: چون با یکپنداری، ۳ حرف به یک بلوک تبدیل میشوند و به همراه ۳ حرف دیگر (مجموعاً ۴ واحد) جایگشت مییابند ($4!$). سپس باید ضرب در جایگشت داخلی ۳ حرف ($3!$) شود.
❓ سوال ۲: تفاوت بین «کنار هم بودن با ترتیب مشخص» و «کنار هم بودن بدون ترتیب مشخص» در فرمول نویسی چیست ؟
✅ پاسخ: در حالت «با ترتیب مشخص»، جایگشت داخلی بلوک یک است (یعنی در فرمول ضرب نمیشود)، اما در حالت «بدون ترتیب مشخص»، باید حتماً جایگشت داخلی اعضا (فاکتوریل تعداد اعضای بلوک) را در نتیجه نهایی ضرب کرد.
✅ پاسخ: در حالت «با ترتیب مشخص»، جایگشت داخلی بلوک یک است (یعنی در فرمول ضرب نمیشود)، اما در حالت «بدون ترتیب مشخص»، باید حتماً جایگشت داخلی اعضا (فاکتوریل تعداد اعضای بلوک) را در نتیجه نهایی ضرب کرد.
❓ سوال ۳: اگر در یک کلمه حروف تکراری وجود داشته باشد (مثلاً کلمه DAMDARAN ) و شرط کنیم که حروف یکسان کنار هم باشند، روش کار چیست؟
✅ پاسخ: در این حالت، ابتدا حروف یکسان را به عنوان بلوکهای جداگانه در نظر میگیریم (مثلاً یک بلوک برای سه تا A و یک بلوک برای دو تا D). سپس این بلوکها را به همراه سایر حروف تکراری به عنوان اشیاء جدید در نظر گرفته و جایگشت میدهیم. برای کلمه DAMDARAN، با فرض چسبیدن Aها و Dها به یکدیگر، ۵ شیء (بلوک A، بلوک D، M، R، N) داریم که $5! = 120$ حالت جایگشت دارند .
✅ پاسخ: در این حالت، ابتدا حروف یکسان را به عنوان بلوکهای جداگانه در نظر میگیریم (مثلاً یک بلوک برای سه تا A و یک بلوک برای دو تا D). سپس این بلوکها را به همراه سایر حروف تکراری به عنوان اشیاء جدید در نظر گرفته و جایگشت میدهیم. برای کلمه DAMDARAN، با فرض چسبیدن Aها و Dها به یکدیگر، ۵ شیء (بلوک A، بلوک D، M، R، N) داریم که $5! = 120$ حالت جایگشت دارند .
✨ جمعبندی: تکنیک یکپنداری یک ابزار قدرتمند در حل مسائل جایگشت است. با تبدیل گروه عناصر اجباری به یک بلوک، مسئله به یک جایگشت خطی ساده تبدیل شده و سپس با اعمال اصل ضرب (ضرب تعداد حالات چیدمان بلوکها در تعداد حالات چیدمان داخلی هر بلوک) به پاسخ نهایی میرسیم. این روش برای هر دو حالت «ترتیب داخلی مشخص» و «ترتیب داخلی دلخواه» کاربرد دارد و فهم عمیق آن، حل بسیاری از مسائل ترکیبیاتی را آسان میکند.
پاورقیها
[1]جایگشت (Permutation): به هر روش چیدن اشیا در کنار هم به ترتیب معین، یک جایگشت میگویند .
[2]تکنیک یکپنداری (Binding Technique): روشی در شمارش که در آن چند عنصر که باید همیشه مجاور باشند، به عنوان یک موجودیت واحد (بلوک) در نظر گرفته میشوند تا محاسبات سادهتر گردد .
