شرط تعداد مشخص: راهنمای گامبهگام برای مسائل انتخاب
مفهوم اصلی: انتخابِ دقیقاً k عضو از n عضو
وقتی میگوییم «تعداد انتخابشده باید برابر یک مقدار مشخص باشد»، به این معنی است که از یک مجموعه با n عضو متمایز، میخواهیم دقیقاً k عضو را انتخاب کنیم (بدون توجه به ترتیب). این مفهوم در ریاضیات با نام «ترکیب» [1] شناخته میشود و فرمول آن به صورت زیر است:
در این فرمول، n! (خوانده میشود n فاکتوریل) حاصلضرب تمام اعداد از 1 تا n است. بهعنوان مثال، اگر از یک کلاس ۳۰ نفره بخواهیم یک تیم ۵ نفره بسازیم، تعداد حالتهای ممکن برابر است با $C(30, 5)$.
کاربرد عملی: از انتخاب تیم تا ترکیب قفلهای دیجیتال
فرض کنید در یک مسابقه کتابخوانی، ۱۲ کتاب داریم و میخواهیم ۳ کتاب را به عنوان برنده انتخاب کنیم. تعداد حالتهای ممکن برای انتخاب این ۳ کتاب، مستقل از ترتیب، با شرط "تعداد = ۳" محاسبه میشود:
این محاسبه میگوید که ۲۲۰ راه مختلف برای انتخاب ۳ کتاب از ۱۲ کتاب وجود دارد. در مثالی دیگر، در یک قفل دیجیتال با ۱۰ دکمه (۰ تا ۹)، اگر بخواهیم یک رمز ۴ رقمی با ارقام غیرتکراری بسازیم، ابتدا ۴ رقم از ۱۰ رقم را انتخاب میکنیم (ترکیب) و سپس آنها را مرتب میکنیم (جایگشت). اما اگر مسئله صرفاً انتخاب ۴ رقم باشد (بدون توجه به ترتیب)، پاسخ همان $C(10, 4) = 210$ است.
همچنین در مسائل هندسه، اگر ۸ نقطه روی یک دایره داشته باشیم و بخواهیم تعداد مثلثهایی را که با اتصال این نقاط به وجود میآید بشماریم، باید دقیقاً ۳ نقطه از ۸ نقطه را انتخاب کنیم: $C(8, 3) = 56$ مثلث.
مقایسه موقعیتهای مختلف: چه زمانی شرط تعداد اهمیت دارد؟
| نوع مسئله | شرط تعداد | روش محاسبه | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| انتخاب تیم (بدون اولویت) | دقیقاً k نفر | ترکیب $C(n,k)$ | $C(10,3)=120$ |
| چیدن کتاب در قفسه (ترتیب مهم است) | دقیقاً k کتاب | جایگشت $P(n,k)$ | $P(10,3)=720$ |
| پر کردن خانههای خالی (تکرار مجاز) | دقیقاً k انتخاب | توان $n^k$ | $10^3=1000$ |
چالشهای مفهومی
زیرا فاکتوریل روشی فشرده برای شمارش تعداد راههای ممکن است. در فرمول ترکیب، $n!$ تمام ترتیبهای ممکن برای n عضو را نشان میدهد و با تقسیم بر $k!$ و $(n-k)!$ اثر ترتیب را حذف میکنیم.
در این حالت دیگر یک شرط «تساوی» نداریم. برای «حداکثر k» باید تمام حالتهای ۰ تا k را با هم جمع کنیم. برای «حداقل k» نیز مجموع حالتهای k تا n را حساب میکنیم. این جمع حالتها معمولاً با نماد سیگما نشان داده میشود.
بله، اگر مجموعه شامل اشیاء یکسان باشد، به مسئله «ترکیب با تکرار» میرسیم که فرمول آن متفاوت است: $C(n+k-1, k)$ که در آن n نوع شیء موجود است و k تعداد انتخابها.
پاورقی
1ترکیب (Combination): در ریاضیات، به هر انتخاب از اعضای یک مجموعه که در آن ترتیب اهمیت نداشته باشد، ترکیب میگویند. برای مثال، انتخاب ۳ کتاب از ۵ کتاب، یک ترکیب است.
