اصل جمع در شمارش: بنیاد ترکیبیات و کاربردهای آن
آشنایی با قاعده جمع، تفاوت آن با اصل ضرب، و حل مسائل گوناگون با مثالهای علمی و روزمره
این مقاله به بررسی «اصل جمع» بهعنوان یکی از دو قاعدهٔ اساسی علم شمارش (ترکیبیات) میپردازد. با مطالعهٔ این مطلب، مفهوم «یا» در انتخابها را بهصورت دقیق فراگرفته، کاربرد آن را در مسائل روزمره و علمی مانند انتخاب غذا، شمارش اعداد، و طراحی رمزهای عبور خواهید دید و تفاوت آن را با اصل ضرب (قاعده «و») بهخوبی درک خواهید کرد.
تعریف اصل جمع: منطق انتخاب «یا»
اصل جمع[1] که به آن «قاعده جمع» نیز گفته میشود، یکی از پایهایترین مفاهیم در شاخهای از ریاضیات به نام «ترکیبیات»[2] است. این اصل موقعی به کار میآید که با یک انتخاب روبرو هستیم که میتواند از میان چند گروه مجزا از گزینهها صورت گیرد؛ بهشرطی که این انتخاب، صرفاً از یکی از گروهها انجام شود. به عبارت سادهتر، اصل جمع میگوید: اگر انجام یک کار به دو روش مختلف ممکن باشد، بهگونهای که این دو روش نتوانند همزمان اتفاق بیفتند (رویهمپوشانی نداشته باشند) و روش اول شامل m حالت و روش دوم شامل n حالت باشد، آنگاه تعداد کل حالتهای انجام آن کار برابر است با: $m+n$.
? فرمول اصل جمع:
اگر یک انتخاب از میان دو دستهی جداگانهی A و B صورت گیرد که دستهی A دارای m عضو و دستهی B دارای n عضو باشد و این دو دسته هیچ عضو مشترکی نداشته باشند، تعداد راههای انتخاب یک عضو از اجتماع آنها برابر است با: $|A \cup B| = |A| + |B|$.
برای درک بهتر، فرض کنید میخواهید برای خرید یک کتاب به کتابخانه بروید. دو مسیر برای رفتن دارید: یک مسیر پیادهرو است که از میان پارک میگذرد و
3
راه فرعی دارد، و مسیر دیگر سوارهرو است که
2
راه فرعی دارد. اگر تصمیم بگیرید که فقط از یکی از این دو مسیر کلی (یا پیادهرو یا سوارهرو) به کتابخانه بروید، بدون توجه به راههای فرعی، در اصل شما
3+2=5
راه برای انتخاب مسیر اصلی دارید. توجه کنید که شما نمیتوانید همزمان از هر دو مسیر استفاده کنید؛ این همان شرط «جدا بودن» یا «رویهمپوشانی نداشتن» گزینههاست.
اگر یک انتخاب از میان دو دستهی جداگانهی A و B صورت گیرد که دستهی A دارای m عضو و دستهی B دارای n عضو باشد و این دو دسته هیچ عضو مشترکی نداشته باشند، تعداد راههای انتخاب یک عضو از اجتماع آنها برابر است با: $|A \cup B| = |A| + |B|$.
تمایز اصل جمع از اصل ضرب (قاعده «و»)
یکی از نکات کلیدی در شمارش، تشخیص موقعیت استفاده از اصل جمع در مقابل اصل ضرب است. این دو اصل دو مفهوم متفاوت را بیان میکنند :- اصل جمع (یا): هنگامی به کار میرود که ما با یک «انتخاب» از میان چند دستهی مجزا روبرو هستیم. به عبارت دیگر، ما فقط یکی از گزینهها را برمیگزینیم. کلیدواژهی این اصل در بیان مسئله، کلمهی «یا» است. اگر بخواهیم یک کار را «یا» به روش اول «یا» به روش دوم انجام دهیم، حالتها را جمع میکنیم.
- اصل ضرب (و): هنگامی به کار میرود که ما با یک «فرآیند چندمرحلهای» مواجه هستیم. به این معنا که یک کار باید در چند مرحله و پشت سر هم انجام شود. کلیدواژهی این اصل، کلمهی «و» است. اگر بخواهیم یک کار را انجام دهیم «و» سپس کار دیگری را، حالتها را در هم ضرب میکنیم.
| ویژگی | اصل جمع | اصل ضرب |
|---|---|---|
| کلمه کلیدی | «یا» (انتخاب یکی از چند راه) | «و» (انجام پشت سر هم چند کار) |
| نوع فرآیند | انتخاب از بین دستههای مختلف | ترکیب مراحل متوالی |
| عملگر ریاضی | + (جمع) | × (ضرب) |
| مثال | انتخاب یک قاشق از کشوی چپ یا یک چنگال از کشوی راست | انتخاب یک قاشق و سپس یک چنگال |
مثالهای عینی از کاربرد اصل جمع در زندگی روزمره
برای تثبیت مفهوم، چند مثال عملی را با هم مرور میکنیم:- منوی رستوران: فرض کنید در یک فستفود، شما میتوانید بهعنوان وعدهٔ اصلی، 3 نوع برگر یا4 نوع پیتزا انتخاب کنید. طبق اصل جمع، تعداد گزینههای شما برای وعدهٔ اصلی برابر است با $3 + 4 = 7$ گزینه .
- انتخاب مسیر سفر: برای سفر از تهران به اصفهان، میتوانید با اتوبوس (با 5 شرکت مسافربری) یا با قطار (با 3 شرکت ریلی) سفر کنید. تعداد کل روشهای سفر شما با وسایل نقلیه همگانی برابر $5+3=8$ روش است.
- انتخاب هدیه: میخواهید به دوست خود یک هدیه بدهید. بین 4 نوع کتاب داستان یا6 نوع لوازم تحریر زیبا یکی را انتخاب کنید. شما $4+6=10$ انتخاب مختلف برای هدیه دارید.
کاربرد ترکیبی اصل جمع و ضرب در مسائل علمی
در بسیاری از مسائل، برای رسیدن به جواب باید از هر دو اصل (جمع و ضرب) بهصورت ترکیبی استفاده کنیم. یک مثال کلاسیک، مسئلهی انتخاب اعضای هیئتمدیره با شرایط خاص است . مسئله: یک مجتمع مسکونی دارای سه بلوک A (با 5 خانواده)، بلوک B (با 4 خانواده) و بلوک C (با 6 خانواده) است. میخواهیم یک هیئتمدیره 2 نفره انتخاب کنیم، بهطوری که این دو نفر از یک بلوک نباشند (یعنی حتماً از دو بلوک مختلف انتخاب شوند). به چند طریق میتوان این کار را انجام داد؟ حل گامبهگام:حالتهای ممکن برای انتخاب دو نفر از دو بلوک متفاوت عبارتند از: (یک نفر از بلوک A و یک نفر از بلوک B) یا (یک نفر از بلوک A و یک نفر از بلوک C) یا (یک نفر از بلوک B و یک نفر از بلوک C). هر کدام از این سه حالت اصلی با «یا» از هم جدا شدهاند، پس در نهایت جوابهای این سه حالت را با هم جمع میکنیم (اصل جمع). حال درون هر کدام از این حالتها، انتخاب یک نفر از یک بلوک و یک نفر از بلوک دیگر به صورت همزمان انجام میشود، پس درون هر حالت از اصل ضرب استفاده میکنیم:
- حالت اول (یک نفر از A و یک نفر از B): $5 \times 4 = 20$ روش
- حالت دوم (یک نفر از A و یک نفر از C): $5 \times 6 = 30$ روش
- حالت سوم (یک نفر از B و یک نفر از C): $4 \times 6 = 24$ روش
چالشهای مفهومی در بهکارگیری اصل جمع
❓ چالش ۱: چه زمانی نباید از اصل جمع استفاده کرد؟
پاسخ: وقتی گزینههای ما «رویهمپوشانی» داشته باشند. مثال: تعداد دانشآموزانی که یا ورزشکار هستند یا موسیقیدان. اگر برخی هم ورزشکار باشند و هم موسیقیدان، با جمع ساده، آنها دو بار شمرده میشوند. در اینجا باید از «اصل شمول و عدم شمول»[3] استفاده کرد .
پاسخ: وقتی گزینههای ما «رویهمپوشانی» داشته باشند. مثال: تعداد دانشآموزانی که یا ورزشکار هستند یا موسیقیدان. اگر برخی هم ورزشکار باشند و هم موسیقیدان، با جمع ساده، آنها دو بار شمرده میشوند. در اینجا باید از «اصل شمول و عدم شمول»[3] استفاده کرد .
❓ چالش ۲: آیا اصل جمع فقط به دو دسته محدود میشود؟
پاسخ: خیر. اصل جمع را میتوان به هر تعداد دسته که با «یا» از هم جدا شدهاند و اشتراکی با هم ندارند، تعمیم داد. اگر k دستهی جدا از هم با تعداد عضوهای $n_1, n_2, ..., n_k$ داشته باشیم، تعداد راههای انتخاب یک عضو از مجموع آنها برابر است با: $n_1 + n_2 + ... + n_k$.
پاسخ: خیر. اصل جمع را میتوان به هر تعداد دسته که با «یا» از هم جدا شدهاند و اشتراکی با هم ندارند، تعمیم داد. اگر k دستهی جدا از هم با تعداد عضوهای $n_1, n_2, ..., n_k$ داشته باشیم، تعداد راههای انتخاب یک عضو از مجموع آنها برابر است با: $n_1 + n_2 + ... + n_k$.
❓ چالش ۳: تفاوت اصل جمع با اصل متمم (تفریق) چیست؟
پاسخ: اصل متمم یا تفریق، حالت خاصی از اصل جمع نیست، بلکه روشی برای شمارش غیرمستقیم است. در اصل متمم، تعداد حالتهای مطلوب را از طریق کم کردن حالتهای نامطلوب از کل حالتها بهدست میآوریم. اما اصل جمع، مستقیماً حالتهای مطلوب را با هم جمع میزند، بهشرط آنکه این حالتها مجزا باشند .
پاسخ: اصل متمم یا تفریق، حالت خاصی از اصل جمع نیست، بلکه روشی برای شمارش غیرمستقیم است. در اصل متمم، تعداد حالتهای مطلوب را از طریق کم کردن حالتهای نامطلوب از کل حالتها بهدست میآوریم. اما اصل جمع، مستقیماً حالتهای مطلوب را با هم جمع میزند، بهشرط آنکه این حالتها مجزا باشند .
کاربرد عملی: شمارش اعداد و رمزهای عبور
یکی از مهمترین کاربردهای اصل جمع، در شمارش اعداد با شرایط خاص و طراحی رمزهای عبور است . مثال شمارش اعداد: میخواهیم بدانیم از بین اعداد 1 تا 50، چند عدد یا مضرب 3 هستند یا مضرب 5؟ (توجه: اعداد مشترک مانند 15، 30، 45 نباید دو بار شمرده شوند.)- تعداد مضارب 3: $ \lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16 $ عدد
- تعداد مضارب 5: $ \lfloor \frac{50}{5} \rfloor = 10 $ عدد
- تعداد مضارب مشترک 15: $ \lfloor \frac{50}{15} \rfloor = 3 $ عدد
? نتیجهگیری: اصل جمع، ابزاری ساده اما قدرتمند است که به ما اجازه میدهد تعداد انتخابها را در شرایطی که با چند دستهی جداگانه از گزینهها روبرو هستیم، بهسرعت محاسبه کنیم. درک صحیح تفاوت آن با اصل ضرب (تمایز قائل شدن بین «یا» و «و») و همچنین آگاهی از محدودیت آن (لزوم مجزا بودن دستهها) برای حل مسائل شمارش، از پایهایترین مهارتها در ریاضیات گسسته و ترکیبیات به شمار میرود.
پاورقیها
[1]اصل جمع (Addition Rule): اصلی در ترکیبیات که میگوید اگر راههای انجام یک کار به چند دستهی مجزا تقسیم شوند، تعداد کل راهها برابر مجموع راههای هر دسته است.
[2]ترکیبیات (Combinatorics): شاخهای از ریاضیات که به مطالعهٔ روشهای شمارش، چیدمان و ترکیب اشیا میپردازد.
[3]اصل شمول و عدم شمول (Inclusion-Exclusion Principle): روشی برای شمارش اعضای اجتماع چند مجموعه که تداخل (اشتراک) دارند. فرمول ساده آن برای دو مجموعه: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ .