توان دوم انحراف‌ها: مربع کردن فاصلهٔ هر داده از میانگین برای جلوگیری از خنثی شدن علامت‌های مثبت و منفی

توان دوم انحراف‌ها: کلید حل معمای پراکندگی داده‌ها

۱. مشکل صفر شدن مجموع انحراف‌ها

برای درک دلیل مربع کردن انحراف‌ها، ابتدا باید با یک ویژگی مهم میانگین آشنا شویم. اگر انحراف (فاصله) هر داده از میانگین را محاسبه کنیم، مجموع این انحراف‌ها همیشه برابر صفر می‌شود. این یک ویژگی ریاضی میانگین است، اما برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها یک مشکل بزرگ ایجاد می‌کند: انحراف‌های مثبت و منفی یکدیگر را خنثی می‌کنند و ما هیچ اطلاعاتی درباره میزان پراکندگی به‌دست نمی‌آوریم.

مثال ساده: نمرات سه دانش‌آموز در یک آزمون، 10، 12 و 14 است. میانگین این نمرات برابر 12 است. انحراف‌ها از میانگین به ترتیب عبارتند از: (10-12 = -2)، (12-12 = 0) و (14-12 = 2+ ). مجموع این انحراف‌ها: (-2) + 0 + (+2) = 0. همانطور که می‌بینید، حاصل جمع، صفر شد.

۲. راهکار توان دوم: تبدیل انحراف‌ها به مقادیر مثبت

راه حل اساسی برای حل مشکل خنثی شدن انحراف‌ها، از بین بردن علامت منفی است. یکی از روش‌ها، استفاده از قدر مطلق است، اما روش رایج و پرکاربردتر در آمار، مربع کردن انحراف‌ها است. با مربع کردن، تمام اعداد (چه مثبت و چه منفی) به اعداد مثبت تبدیل می‌شوند. به این ترتیب، انحراف‌های مثبت و منفی دیگر یکدیگر را خنثی نکرده و مجموع آن‌ها می‌تواند معیاری از پراکندگی باشد.

در مثال قبل، انحراف‌های 2- و 2+ را مربع می‌کنیم. (-2)^2 = 4 و (+2)^2 = 4. مجموع مربعات انحراف‌ها برابر (4 + 0 + 4 = 8) است. این عدد (8) نشان‌دهنده پراکندگی است و با صفر قبلی تفاوت زیادی دارد.

۳. مقایسه روش‌ها: مجموع انحرافات در مقابل مجموع مربعات انحرافات

برای درک بهتر برتری روش توان دوم، بیایید دو مجموعه داده متفاوت را با هم مقایسه کنیم. مجموعه اول {10,12,14} و مجموعه دوم {8,12,16} است. هر دو مجموعه میانگینی برابر 12 دارند، اما داده‌های مجموعه دوم پراکنده‌تر هستند. جدول زیر محاسبات را نشان می‌دهد:

همانطور که جدول نشان می‌دهد، مجموع انحراف‌ها برای هر دو مجموعه صفر است و هیچ اطلاعاتی درباره پراکندگی بیشتر مجموعه دوم نمی‌دهد. در مقابل، مجموع مربعات انحراف‌ها برای مجموعه دوم (32) به‌وضوح بزرگتر از مجموعه اول (8) است و پراکندگی بیشتر آن را به‌خوبی نشان می‌دهد.

۴. از توان دوم تا واریانس و انحراف معیار

مجموع مربعات انحراف‌ها (که با نماد $SS$ نشان داده می‌شود) پایه‌ای برای محاسبه مهم‌ترین معیارهای پراکندگی یعنی واریانس و انحراف معیار است. برای محاسبه واریانس¹ جامعه، میانگین مجموع مربعات انحراف‌ها را حساب می‌کنیم:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$

که در آن $x_i$ها داده‌ها، $\mu$ میانگین جامعه و $n$ تعداد داده‌هاست. واریانس یک عدد مثبت است. اما واحد واریانس، مربع واحد داده‌هاست (مثلاً اگر داده‌ها بر حسب سانتی‌متر باشند، واریانس بر حسب سانتی‌متر مربع خواهد بود). برای بازگشت به واحد اصلی، از انحراف معیار² استفاده می‌کنیم که جذر واریانس است:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$

انحراف معیار، پراکندگی داده‌ها را حول میانگین با واحدی مشابه خود داده‌ها نشان می‌دهد و یکی از پرکاربردترین مفاهیم در آمار است.

۵. مثال عینی: مقایسه پراکندگی قد دانش‌آموزان

فرض کنید قد پنج دانش‌آموز (بر حسب سانتی‌متر) در دو کلاس متفاوت به شرح زیر باشد:

کلاس الف: 150, 152, 151, 153, 154
کلاس ب: 140, 160, 145, 155, 150

میانگین قد در هر دو کلاس برابر 152 سانتی‌متر است. اما شهوداً می‌دانیم که دانش‌آموزان کلاس ب از نظر قد، پراکنده‌تر هستند. بیایید با محاسبه انحراف معیار این موضوع را بررسی کنیم.

با انجام محاسبات (که برای اختصار در اینجا از ذکر جزئیات آن صرف نظر می‌کنیم) به نتایج زیر می‌رسیم:

• کلاس الف انحراف معیار تقریباً 1.58 سانتی‌متر است.
• کلاس ب انحراف معیار تقریباً 7.91 سانتی‌متر است.

انحراف معیار بزرگ‌تر کلاس ب، تأیید می‌کند که داده‌های آن (قد دانش‌آموزان) پراکندگی بیشتری دارند. این پراکندگی به‌وضوح با چشم غیرمسلح نیز قابل مشاهده است. عملیات مربع کردن انحراف‌ها در مراحل اولیه محاسبه، امکان این مقایسه دقیق را فراهم کرده است.

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ واریانس (Variance): معیاری برای سنجش پراکندگی داده‌ها که میانگین مجذور فاصله هر داده از میانگین است.

² انحراف معیار (Standard Deviation): معیاری برای سنجش پراکندگی داده‌ها که از جذر واریانس به‌دست می‌آید و واحدی مشابه داده‌ها دارد.