نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه
تناسب اضلاع، کلید طلایی حل مسائل هندسه؛ از نقشههای بزرگمقیاس تا اهرام ثلاثه
در این مقاله با یکی از بنیادیترین مفاهیم هندسه، یعنی «نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه» آشنا میشویم. پس از مرور تعریف دقیق تشابه، به سراغ نسبت تشابه میرویم و با مثالهای عددی و گامبهگام نشان میدهیم که چطور این نسبت ثابت، روابط بین اضلاع را شکل میدهد. همچنین کاربرد این نسبت را در سایر اجزای مثلث مانند ارتفاعها [1]، میانهها و مساحتها بررسی خواهیم کرد و در نهایت، با پاسخ به چند پرسش چالشی، درک خود را از این موضوع عمیقتر میسازیم.
تشابه در هندسه: همشکلی با ابعاد متفاوت
در زندگی روزمره، اشکالی را میبینیم که شکل یکسانی دارند اما اندازهشان متفاوت است. برای مثال، دو عکس یکسان را در نظر بگیرید که یکی روی صفحهی کوچک گوشی موبایل و دیگری روی یک بیلبورد بزرگ چاپ شده است. در هندسه، به این ویژگی «تشابه» (Similarity) میگویند. دو شکل هندسی متشابه هستند اگر یکی بتواند با بزرگنمایی یا کوچکنمایی (تغییر مقیاس) به شکل دیگر تبدیل شود، بدون آنکه شکل ظاهری آن تغییر کند . در مورد مثلثها، این تعریف به دو شرط سادهتر تبدیل میشود:- تساوی زوایای متناظر: زاویههای نظیر به نظیر در دو مثلث کاملاً با هم برابر باشند.
- تناسب اضلاع متناظر: نسبت طول هر ضلع از مثلث اول به ضلع نظیرش در مثلث دوم، مقداری ثابت باشد.
ضلعهای متناظر: یافتن جفتهای همجا
پیش از آنکه به نسبت ضلعها بپردازیم، باید بدانیم کدام ضلعها «متناظر» (Corresponding) یکدیگرند. سادهترین راه برای تشخیص ضلعهای متناظر، استفاده از زوایاست. در دو مثلث متشابه، ضلعهایی که بین زاویههای مساوی قرار گرفتهاند، با یکدیگر متناظر هستند. به عنوان مثال، فرض کنید دو مثلث \( \triangle ABC \) و \( \triangle DEF \) متشابه باشند و بدانیم \( \angle A = \angle D \) و \( \angle B = \angle E \). در این صورت:- ضلع \( AB \) (بین زوایای A و B) با ضلع \( DE \) (بین زوایای D و E) متناظر است.
- ضلع \( BC \) (بین زوایای B و C) با ضلع \( EF \) (بین زوایای E و F) متناظر است.
- ضلع \( AC \) (بین زوایای A و C) با ضلع \( DF \) (بین زوایای D و F) متناظر است.
نسبت تشابه: ثابت طلایی تناسب
نسبت طول هر جفت ضلع متناظر در دو مثلث متشابه، مقداری ثابت است که به آن «نسبت تشابه» (Scale Factor) میگویند و معمولاً آن را با حرف \( k \) نمایش میدهند . \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k \) این نسبت نشان میدهد که اضلاع مثلث اول چند برابر اضلاع مثلث دوم هستند (یا بالعکس). اگر \( k > 1 \) باشد، مثلث اول بزرگتر است و اگر \( 0 باشد، مثلث اول کوچکتر است. در حالت خاص \( k = 1 \)، دو مثلث نه تنها متشابه، بلکه «همنهشت» (Congruent) هستند .مثال محاسباتی گامبهگام
فرض کنید دو مثلث متشابه \( \triangle PQR \) و \( \triangle XYZ \) داریم. طول اضلاع مثلث اول \( PQ = 6 \)، \( QR = 8 \) و \( PR = 10 \) است. طول ضلع \( XY = 3 \) در مثلث دوم داده شده است. میخواهیم طول دو ضلع دیگر مثلث دوم را پیدا کنیم.- تشخیص ضلعهای متناظر: فرض میکنیم ترتیب حروف نشاندهندهی تناظر باشد. یعنی ضلع \( PQ \) با \( XY \)، \( QR \) با \( YZ \) و \( PR \) با \( XZ \) متناظر است.
- محاسبهی نسبت تشابه: با استفاده از جفت ضلع معلوم، نسبت تشابه را به دست میآوریم: \( k = \frac{PQ}{XY} = \frac{6}{3} = 2 \) این یعنی اضلاع مثلث اول \( 2 \) برابر اضلاع متناظرشان در مثلث دوم هستند.
- یافتن ضلعهای مجهول: از روی نسبت تشابه، طول ضلعهای مجهول را حساب میکنیم:
- \( \frac{QR}{YZ} = k \Rightarrow \frac{8}{YZ} = 2 \Rightarrow YZ = 4 \)
- \( \frac{PR}{XZ} = k \Rightarrow \frac{10}{XZ} = 2 \Rightarrow XZ = 5 \)
تعمیم نسبت: از اضلاع تا اجزای دیگر مثلث
نکتهی شگفتانگیز در مورد مثلثهای متشابه این است که نسبت تشابه تنها به اضلاع خلاصه نمیشود. این نسبت برای تمام پارهخطهای متناظر در دو مثلث، از جمله ارتفاعها، میانهها، نیمسازها و حتی محیطها نیز برقرار است .| عنصر مورد مقایسه | نسبت در مثلثهای متشابه |
|---|---|
| اضلاع متناظر | \( k \) (نسبت تشابه) |
| ارتفاعهای متناظر | \( k \) |
| میانههای متناظر | \( k \) |
| نیمسازهای متناظر | \( k \) |
| محیطها | \( k \) |
| مساحتها | \( k^2 \) |
کاربرد عملی: از نقشهکشی تا معماری
مفهوم نسبت ضلعهای متناظر و تشابه، کاربردهای گستردهای در دنیای واقعی دارد. در اینجا به دو مثال ملموس اشاره میکنیم:- نقشههای جغرافیایی: مقیاس نقشهها در حقیقت همان نسبت تشابه است . اگر مقیاس یک نقشه \( 1:100000 \) باشد، یعنی هر \( 1 \) سانتیمتر روی نقشه، معادل \( 100000 \) سانتیمتر (یک کیلومتر) در جهان واقعی است. بنابراین، طول یک خیابان روی نقشه با طول واقعی آن متناسب است.
- اندازهگیری ارتفاع با سایه: فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک ساختمان را بدون اندازهگیری مستقیم به دست آوریم. کافی است در یک لحظهی مشخص، طول سایهی ساختمان و طول سایهی یک جسم با ارتفاع معلوم (مثلاً یک چوب یک متری) را اندازه بگیریم. از آنجایی که پرتوهای خورشید موازی هستند، زاویهی برخورد نور با زمین برای هر دو جسم یکسان است و مثلثهای تشکیلشده بین جسم، سایه و پرتو نور متشابه خواهند بود . در نتیجه: \( \frac{\text{ارتفاع ساختمان}}{\text{ارتفاع چوب}} = \frac{\text{طول سایه ساختمان}}{\text{طول سایه چوب}} \)
چالشهای مفهومی
❓ اگر نسبت دو ضلع متناظر در دو مثلث برابر \( 0.5 \) باشد، کدام مثلث بزرگتر است؟
این نسبت نشان میدهد که ضلعهای مثلث اول نصف ضلعهای متناظرشان در مثلث دوم هستند. بنابراین، مثلث دوم بزرگتر است. نسبت تشابه وقتی از مثلث اول به دوم نوشته شود \( 0.5 \) و وقتی از مثلث دوم به اول نوشته شود \( 2 \) خواهد بود.
❓ آیا دو مستطیل با ابعاد 2×4 و 3×6 متشابه هستند؟ نسبت تشابه چند است؟
بله، این دو مستطیل متشابه هستند زیرا نسبت طول به عرض در هر دو \( \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2 \) است و زوایای آنها نیز همه قائمه و برابرند. برای یافتن نسبت تشابه، نسبت دو ضلع متناظر را میسنجیم: \( \frac{2}{3} \) یا \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). بنابراین نسبت تشابه \( \frac{2}{3} \) است .
❓ اگر نسبت مساحتهای دو مثلث متشابه \( 16 \) باشد، نسبت محیطهای آنها چقدر است؟
میدانیم نسبت مساحتها برابر مجذور نسبت تشابه (\( k^2 \)) است. داریم \( k^2 = 16 \)، بنابراین \( k = 4 \) (چون نسبت طول همیشه مثبت است). از آنجایی که نسبت محیطها با نسبت تشابه برابر است، نسبت محیطها نیز \( 4 \) خواهد بود .
در این مقاله دریافتیم که نسبت ضلعهای متناظر در مثلثهای متشابه، یک نسبت ثابت به نام «نسبت تشابه» است. این نسبت، کلید اصلی برای یافتن ابعاد مجهول در مسائل هندسی و همچنین ارتباط دهندهی تمام اجزای خطی دو شکل متشابه (از جمله ارتفاع، میانه و محیط) به یکدیگر است. درک صحیح این مفهوم، نه تنها برای حل مسائل کتابهای درسی [1][2] ضروری است، بلکه پایهای برای درک بسیاری از پدیدههای طبیعی و کاربردهای مهندسی در دنیای اطراف ما محسوب میشود.
پاورقی
[1]تشابه (Similarity): در هندسه، به رابطهای بین دو شکل گفته میشود که در آن، یکی با بزرگنمایی یا کوچکنمایی (و همچنین دوران و انتقال) از دیگری حاصل شود. در این حالت، زوایای متناظر برابر و اضلاع متناظر متناسب هستند .
[2]نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی است که از تقسیم طول هر ضلع از یک شکل بر طول ضلع متناظرش در شکل متشابه دیگر به دست میآید .
[3]ضلعهای متناظر (Corresponding Sides): در دو شکل متشابه، به ضلعهایی که بین زاویههای مساوی قرار گرفتهاند یا در ترتیب یکسانی از رئوس قرار دارند، اضلاع متناظر میگویند.
[4]همنهشتی (Congruence): حالت خاصی از تشابه است که در آن نسبت تشابه برابر 1 بوده و دو شکل از نظر ابعاد نیز کاملاً برابر هستند .
[2]نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی است که از تقسیم طول هر ضلع از یک شکل بر طول ضلع متناظرش در شکل متشابه دیگر به دست میآید .
[3]ضلعهای متناظر (Corresponding Sides): در دو شکل متشابه، به ضلعهایی که بین زاویههای مساوی قرار گرفتهاند یا در ترتیب یکسانی از رئوس قرار دارند، اضلاع متناظر میگویند.
[4]همنهشتی (Congruence): حالت خاصی از تشابه است که در آن نسبت تشابه برابر 1 بوده و دو شکل از نظر ابعاد نیز کاملاً برابر هستند .
