مقدار تابع در یک نقطه: مفهوم f(a) و کاربردهای آن
تعریف مقدار تابع: از ورودی به خروجی
تابع در ریاضیات مانند یک ماشین عمل میکند. این ماشین یک عدد (ورودی) را میگیرد، پردازشی روی آن انجام میدهد و یک عدد جدید (خروجی) تولید میکند. اگر نام تابع را f و ورودی را x در نظر بگیریم، خروجی به صورت f(x) نمایش داده میشود. عبارت f(2) یعنی مقدار خروجی تابع f را هنگامی که ورودی برابر با 2 است، به ما بده. به زبان سادهتر، کافی است در فرمول تابع، به جای x، عدد 2 را قرار دهیم و عبارت حاصل را محاسبه کنیم.
برای درک بهتر، یک مثال عینی میزنیم. فرض کنید تابع f هزینهی خرید x کیلوگرم پرتقال را بر حسب تومان نشان دهد. اگر هر کیلوگرم پرتقال 5000 تومان باشد، تابع به صورت f(x) = 5000x تعریف میشود. در این صورت f(3) به معنای هزینهی خرید 3 کیلوگرم پرتقال است. با قرار دادن x=3 در فرمول، داریم: $f(3) = 5000 \times 3 = 15000$ تومان. این عدد، مقدار تابع در نقطهی 3 است.
روش محاسبه f(a) در توابع مختلف
روش کار برای همهی توابع یکسان است: جانمایی ورودی به جای متغیر. اما نوع تابع میتواند محاسبه را سادهتر یا کمی پیچیدهتر کند. در ادامه با چند نوع تابع آشنا میشویم.
توابع خطی
سادهترین نوع توابع هستند. فرم کلی آنها $f(x) = ax + b$ است. برای محاسبهی f(m) کافیست x را با m عوض کنیم. به مثال زیر توجه کنید:
حل: $f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$
توابع درجه دوم
این توابع دارای یک جمله با توان دو هستند. فرم کلی: $f(x) = ax^2 + bx + c$. محاسبه مقدار تابع در یک نقطه مانند قبل است، فقط باید در توانها دقت کنیم.
حل: $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$
توابع رادیکالی و گویا
در این توابع باید دامنهی تابع را در نظر بگیریم. برای مثال، در توابع کسری، مقدار ورودی نباید مخرج را صفر کند و در توابع رادیکالی با فرجهی زوج، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد.
حل: $f(5) = \frac{2(5)}{5-3} = \frac{10}{2} = 5$ و $f(3) = \frac{6}{0}$ که تعریفنشده است (زیرا ورودی 3 در دامنه تابع نیست).
کاربرد عملی: از پیشبینی تا بهینهسازی
مفهوم مقدار تابع در یک نقطه فقط محدود به کلاس ریاضی نیست. در علوم کامپیوتر، برای پیشبینی مقادیر آینده بر اساس مدلهای آماری از این مفهوم استفاده میشود. برای مثال، یک تابع میتواند میزان فروش یک محصول را بر اساس میزان تبلیغات پیشبینی کند. با قرار دادن میزان بودجهی تبلیغاتی (ورودی) در تابع، فروش پیشبینی شده (خروجی) به دست میآید.
در فیزیک، مکان یک متحرک بر حسب زمان به صورت تابعی از زمان تعریف میشود، مانند $x(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$. با قرار دادن یک لحظهی خاص مانند $t = 3$ ثانیه در تابع، مکان متحرک در آن لحظه به دست میآید. همچنین در اقتصاد، تابع سود بر حسب تعداد محصول تولید شده، به مدیران کمک میکند تا با محاسبهی سود در نقاط مختلف، بهترین میزان تولید را انتخاب کنند.
| نوع تابع | فرضیات | محاسبه f(2) | نتیجه |
|---|---|---|---|
| خطی | $f(x)=4x+1$ | $4(2)+1$ | 9 |
| درجه دوم | $f(x)=x^2 -3$ | $(2)^2 -3$ | 1 |
| گویا | $f(x)=\frac{2}{x}$ | $\frac{2}{2}$ | 1 |
| رادیکالی | $f(x)=\sqrt{x+2}$ | $\sqrt{2+2}$ | 2 |
چالشهای مفهومی
پاسخ: کافیست روی محور افقی (محور ورودیها) مقدار a را پیدا کنید. از این نقطه، خطی عمودی به سمت نمودار تابع رسم کنید تا آن را در یک نقطه قطع کند. سپس از نقطهی برخورد، خطی افقی به سمت محور عمودی (محور خروجیها) رسم کنید. عددی که روی محور عمودی مشاهده میکنید، همان f(a) است.
پاسخ: خیر. مجموعهی اعدادی که میتوانند به عنوان ورودی به تابع داده شوند، «دامنه»2 تابع نامیده میشود. اگر عدد a در دامنه نباشد، عبارت f(a) تعریفنشده است. برای مثال، در تابع $f(x) = \frac{1}{x}$، عدد 0 در دامنه نیست.
پاسخ: هر دو مقدار تابع در نقاط مشخصی هستند. $f(a)$ مقدار تابع در نقطهی a است، در حالی که $f(a+h)$ مقدار تابع در نقطهای به فاصلهی h از a است. این دو مفهوم در محاسبهی شیب خط قاطع و مشتق توابع کاربرد اساسی دارند. برای مثال، اگر $f(x)=x^2$ باشد، آنگاه $f(2)=4$ و $f(2+h) = (2+h)^2 = h^2+4h+4$.
پاورقیها
1تابع خطی (Linear Function): تابعی که نمودار آن یک خط راست است و به صورت f(x) = ax + b نمایش داده میشود.
2دامنه (Domain): مجموعهی تمام مقادیری که میتوانند به عنوان ورودی به یک تابع داده شوند.