تابع درجه دوم: از ریشهها تا رسم سهمی
۱. ساختار تابع درجه دوم و تأثیر ضرایب
تابع درجه دوم به شکل استاندارد $y = ax^2 + bx + c$ نوشته میشود که در آن $a$، $b$ و $c$ اعداد حقیقی هستند و $a \neq 0$. دلیل نامگذاری «درجه دوم» این است که بالاترین توان متغیر $x$ برابر $2$ است. نمودار این تابع همواره یک منحنی به نام سهمی است. شکل و موقعیت این سهمی به طور مستقیم توسط ضرایب $a$، $b$ و $c$ تعیین میشود.
تأثیر ضریب c ضریب $c$ مقدار $y$ را در نقطهای که سهمی محور $y$ را قطع میکند، نشان میدهد. به عبارت دیگر، مختصات نقطهٔ برخورد سهمی با محور $y$ همواره $(0 , c)$ است.
برای درک بهتر، دو تابع زیر را در نظر بگیرید:
- $y = 2x^2 - 4x + 1$ (باریک و رو به بالا، برخورد با محور y در نقطهٔ $1$)
- $y = -0.5x^2 + 3x - 2$ (پهن و رو به پایین، برخورد با محور y در نقطهٔ $-2$)
۲. فرمهای مختلف نوشتار و کاربرد هر یک
تابع درجه دوم را میتوان به سه فرم مختلف نوشت که هرکدام برای یافتن بخشی از ویژگیهای سهمی بسیار مفید هستند. آشنایی با این فرمها به ما در تحلیل سریعتر تابع کمک میکند.
| نام فرم | رابطهٔ کلی | اطلاعات مستقیم از فرمول |
|---|---|---|
| فرم استاندارد | $y=ax^2+bx+c$ | تقارن و عادم تقاطع با محور $y$$(0,c)$ |
| فرم رأس | $y=a(x-h)^2+k$ | رأس سهمی: $(h , k)$ |
| فرم ریشهها | $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ | ریشههای حقیقی: $x_1$ و $x_2$ |
۳. گامهای عملی برای رسم سهمی
برای رسم دقیق یک سهمی، نیازی به محاسبهٔ تعداد زیادی نقطه نیست. با دنبال کردن ۴ گام ساده میتوانیم سهمی را با دقت بالایی ترسیم کنیم.
مثال: تابع $y = x^2 - 4x + 3$ را در نظر بگیرید.
- یافتن رأس: مقدار $x$ رأس از فرمول $h = -\frac{b}{2a}$ به دست میآید. اینجا $a=1$ و $b=-4$، پس $h = -\frac{(-4)}{2(1)} = 2$. با قرار دادن در تابع، $k = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1$. رأس: $(2 , -1)$.
- تعیین جهت و عرض از مبدأ: چون $a=1 \gt 0$، سهمی رو به بالا است. عرض از مبدأ $y$ برابر $c=3$ است، یعنی نقطه $(0 , 3)$ روی سهمی قرار دارد.
- یافتن ریشهها (برخورد با محور x): معادله $x^2-4x+3=0$ را حل میکنیم. با تجزیه: $(x-1)(x-3)=0$، پس ریشهها $x=1$ و $x=3$ هستند. نقاط $(1 , 0)$ و $(3 , 0)$.
- استفاده از تقارن: سهمی نسبت به خط عمودی گذرنده از رأس یعنی $x=2$ متقارن است. نقطهٔ متقارن با $(0 , 3)$ در این خط، نقطهٔ $(4 , 3)$ خواهد بود. اکنون با اتصال این نقاط، سهمی کامل رسم میشود.
۴. کاربرد در مسائل بهینهسازی (مثال عینی)
یکی از مهمترین کاربردهای تابع درجه دوم در دنیای واقعی، یافتن بیشترین یا کمترین مقدار یک کمیت است. فرض کنید یک گلولهی توپ را به صورت عمودی به هوا پرتاب کنیم. ارتفاع گلوله پس از $t$ ثانیه از رابطهٔ زیر به دست میآید:
$h(t) = -5t^2 + 20t$
میخواهیم بدانیم گلوله پس از چند ثانیه به بیشترین ارتفاع میرسد و آن ارتفاع چقدر است؟ این یک مسئلهٔ بهینهسازی است. تابع $h(t)$ یک سهمی رو به پایین است $(a=-5 \lt 0)$، بنابراین رأس آن نقطهٔ بیشینه را نشان میدهد. زمان رسیدن به بیشینه از فرمول رأس به دست میآید:
$t_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2$ ثانیه
با جایگذاری $t=2$ در تابع، ارتفاع بیشینه به دست میآید: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = 20$ متر.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چرا اگر $a=0$ باشد، تابع دیگر درجه دوم نیست؟
با صفر شدن $a$، عبارت $ax^2$ حذف شده و تابع به شکل $y=bx+c$ در میآید که یک خط راست است (تابع خطی). برای داشتن شکل سهمی و وجود یک نقطهٔ بیشینه یا کمینه، حتماً باید جملهٔ درجه دوم وجود داشته باشد.
❓ آیا هر سهمی حتماً دو ریشهٔ حقیقی دارد؟
خیر. تعداد ریشههای حقیقی یک تابع درجه دوم به علامت $\Delta = b^2 - 4ac$ بستگی دارد. اگر $\Delta \gt 0$، دو ریشهی حقیقی داریم. اگر $\Delta = 0$، یک ریشهی حقیقی (ریشهی مضاعف) و اگر $\Delta \lt 0$، هیچ ریشهی حقیقی وجود ندارد و سهمی محور $x$ را قطع نمیکند.
❓ رابطهٔ بین رأس و محور تقارن چیست؟
محور تقارن یک خط عمودی است که سهمی را به دو نیمهٔ مساوی تقسیم میکند. این خط همواره از نقطهٔ رأس میگذرد. معادلهٔ این خط به سادگی $x = h$ است، که در آن $h$ همان مختصات $x$ رأس است. بنابراین، با دانستن رأس، محور تقارن را نیز میدانیم.
در یک نگاه: تابع درجه دوم با $y=ax^2+bx+c$ قلب مفاهیم جبر و هندسه را به هم پیوند میزند. با تشخیص علامت $a$ شکل سهمی، با $c$ نقطهی شروع و با کمک فرمول رأس، بهترین یا بدترین مقدار یک پدیده را پیشبینی میکنیم. تسلط بر روشهای تبدیل فرمهای مختلف و یافتن ریشهها، کلید حل سریع مسائل این مبحث است.
پاورقیها
۱. سهمی (Parabola): منحنی حاصل از رسم تابع درجه دوم که به شکل U یا ∩ است و دارای یک نقطهٔ بیشینه یا کمینه به نام رأس میباشد.
۲. رأس (Vertex): نقطهٔ برگشت یا نقطهٔ اوج سهمی. اگر سهمی رو به بالا باشد، رأس کمترین نقطه و اگر رو به پایین باشد، رأس بیشترین نقطهٔ منحنی است.
