انتقال نمودار در راستای محور xها: جابهجایی افقی توابع
با جابجایی نمودار به چپ و راست، شکل تابع را بدون تغییر دادن، روی محور افقی جابجا کنیم.
✨ خلاصه: انتقال نمودار در راستای محور xها یکی از پایهایترین مفاهیم در مبحث انتقالهای گرافیکی (Transformations) است. با اضافه کردن عددی ثابت به متغیر ورودی تابع، یعنی $y=f(x+k)$، میتوانیم کل نمودار را به اندازهٔ $k$ واحد به چپ یا راست جابجا کنیم. برخلاف تصور عموم، اگر $k$ مثبت باشد، نمودار به چپ و اگر منفی باشد، نمودار به راست منتقل میشود. در این مقاله با مثالهای گوناگون از توابع خطی، درجه دوم و قدرمطلقی، این قانون طلایی را بررسی کرده و کاربردهای آن را در تحلیل توابع میآموزیم.
۱. قانون طلایی: جمع با ورودی، خلاف جهت حرکت
? نکتهٔ کلیدی: اگر به جای $x$ در تابع $f(x)$، مقدار $x+k$ را قرار دهیم (یعنی $f(x+k)$)، نمودار جدید به اندازهٔ $k$ واحد در جهت مخالف علامت $k$ جابجا میشود.
برای درک این قانون، باید به این فکر کنیم که تابع $f(x+k)$ چه زمانی مقداری برابر با $f(x)$ در نقطهای دیگر دارد. اگر بخواهیم مقدار $f(0)$ را در تابع اصلی داشته باشیم، در تابع جدید باید ورودیای را پیدا کنیم که $x+k=0$ شود، یعنی $x=-k$. این یعنی هر نقطه، از جمله نقطهٔ متناظر با $x=0$، به سمت $-k$ حرکت کرده است. بنابراین:
- اگر $k \gt 0$ باشد (مثلاً $f(x+2)$)، نمودار به اندازه $2$ واحد به چپ منتقل میشود.
- اگر $k \lt 0$ باشد (مثلاً $f(x-3)$)، نمودار به اندازه $3$ واحد به راست منتقل میشود.
۲. سفر در دنیای توابع: از خط راست تا سهمی
برای روشنتر شدن موضوع، بیایید چند تابع ساده را با هم مقایسه کنیم. فرض کنید تابع اصلی ما $f(x)=x^2$ است. حال میخواهیم آن را $4$ واحد به راست منتقل کنیم. طبق قانون بالا، برای انتقال به راست باید از $k$ منفی استفاده کنیم: $f(x-4) = (x-4)^2$. رأس این سهمی که در اصل در $(0,0)$ بود، اکنون به $(4,0)$ رسیده است. به همین سادگی!
این قانون برای همهٔ توابع صدق میکند. چه تابع خطی $f(x)=2x+1$ باشد، چه تابع قدرمطلق $f(x)=|x|$. برای مثال، انتقال تابع قدرمطلق به اندازهٔ $5$ واحد به چپ، به صورت $|x+5|$ نوشته میشود و رأس $V$ آن از $(0,0)$ به $(-5,0)$ نقل مکان میکند.
| تابع اصلی $f(x)$ |
انتقال (مقدار و جهت) |
تابع جدید $y=f(x+k)$ |
مختصات نقطهٔ کلیدی (مثال) |
| $f(x)=x$ |
$2$ واحد به راست |
$f(x-2)=x-2$ |
از $(0,0)$ به $(2,0)$ |
| $f(x)=x^2$ |
$3$ واحد به چپ |
$f(x+3)=(x+3)^2$ |
رأس از $(0,0)$ به $(-3,0)$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ |
$1$ واحد به راست |
$f(x-1)=\sqrt{x-1}$ |
نقطهٔ شروع از $(0,0)$ به $(1,0)$ |
| $f(x)=|x|$ |
$4$ واحد به چپ |
$f(x+4)=|x+4|$ |
رأس از $(0,0)$ به $(-4,0)$ |
۳. کاربرد عملی: چگونه مختصات نقاط را بهروز کنیم؟
فرض کنید یک تابع دلخواه $f$ داریم که از نقطهٔ $(a,b)$ عبور میکند. اگر بخواهیم نمودار تابع $f(x+k)$ را رسم کنیم، این نقطه کجا خواهد بود؟ نقطهٔ متناظر روی نمودار جدید، مختصاتی معادل $(a-k, b)$ خواهد داشت. زیرا برای اینکه خروجی تابع جدید برابر $b$ شود، باید داشته باشیم $x+k = a$، بنابراین $x = a-k$.
مثال عینی: تابع $f(x)=x^3 - 2x$ را در نظر بگیرید. فرض کنید این تابع از نقطهٔ $(1,-1)$ عبور میکند. حال اگر بخواهیم نمودار را $5$ واحد به راست منتقل کنیم، طبق فرمول باید $f(x-5)$ را رسم کنیم. نقطهٔ $(1,-1)$ در تابع اصلی، اکنون در تابع جدید به نقطهٔ $(1+5, -1) = (6, -1)$ منتقل میشود (چون $k=-5$ است و $a-k = 1-(-5)=6$).
۴. چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
❓ چرا با اینکه $x+2$ به نظر میرسد که $x$ را بزرگتر میکند، نمودار به چپ میرود؟
این یک سردرگمی رایج است! به خاطر داشته باشید که ما داریم ورودی را تغییر میدهیم تا به یک خروجی مشخص برسیم. برای اینکه تابع $f(x+2)$ مقدار $f(0)$ را بدهد، باید $x$ برابر $-2$ باشد. یعنی آنچه در $x=0$ بود، حالا در $x=-2$ دیده میشود. بنابراین کل نمودار به سمت اعداد منفیتر (چپ) لغزیده است.
❓ اگر تابع بسیار پیچیده باشد، مثلاً $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$، باز هم همین قانون ساده برقرار است؟
قطعاً بله. این قانون یک قانون ساختاری است و به پیچیدگی تابع ربطی ندارد. برای انتقال این تابع $7$ واحد به چپ، کافی است بنویسیم $f(x+7) = \frac{2(x+7)-1}{(x+7)+3}$. تمام ویژگیهای مجانبها، ریشهها و ... همگی $7$ واحد به چپ جابجا میشوند.
❓ تفاوت انتقال افقی با انتقال عمودی1 در چیست؟
انتقال افقی بر روی ورودی تابع تأثیر میگذارد ($f(x+k)$) و محور xها را جابجا میکند، در حالی که انتقال عمودی بر روی خروجی تابع تأثیر میگذارد ($f(x)+k$) و محور yها را جابجا میکند. در انتقال عمودی، علامت $k$ با جهت حرکت همخوانی دارد ($+k$ به بالا، $-k$ به پایین).
انتقال افقی توابع یکی از معدود مفاهیمی است که در آن شهود اولیه ممکن است ما را گمراه کند. همیشه به یاد داشته باشید که تغییر درون تابع (روی $x$) باعث جابجایی در خلاف جهت علامت عدد ثابت میشود. این قانون نه تنها در ریاضیات دبیرستان، بلکه در تحلیل سیگنالها، فیزیک و مهندسی نیز کاربردهای فراوانی دارد. با درک این مفهوم، میتوانید به راحتی نمودار هر تابعی را در ذهن خود جابجا کرده و ویژگیهای آن را پیشبینی کنید.
پاورقی
1انتقال عمودی (Vertical Shift): به جابجایی نمودار یک تابع در راستای محور yها گفته میشود که با اضافه کردن عددی ثابت به خود تابع، یعنی $y=f(x) + k$، نمایش داده میشود. در این نوع انتقال، اگر $k$ مثبت باشد نمودار به بالا و اگر منفی باشد به پایین حرکت میکند.
