انتقال عمودی توابع: جابهجایی نمودار در راستای محور yها
۱. مفهوم انتقال عمودی و قاعدهٔ کلی
انتقال عمودی1 به معنای جابهجایی تمام نقاط یک نمودار به اندازهٔ ثابت k در جهت محور yها است. اگر تابع اصلی y = f(x) باشد، آنگاه تابع جدید y = f(x) + k نموداری کاملاً همشکل با نمودار اولیه دارد، فقط تمام نقاط آن به اندازهٔ k واحد در امتداد محور yها جابهجا شدهاند. برای درک بهتر، نقطهای مانند (x₀, y₀) روی نمودار f(x) را در نظر بگیرید. این نقطه روی نمودار جدید به (x₀, y₀ + k) تبدیل میشود. بنابراین:
۲. بررسی روی توابع مختلف (خطی، درجهدوم، قدرمطلق)
برای روشنتر شدن موضوع، سه نوع تابع پرکاربرد را با مثال عددی بررسی میکنیم. انتقال عمودی در همهٔ انواع توابع به یک شکل عمل میکند.
- مثال ۱ (خطی)تابع اصلی:f(x) = 2x - 1. حال تابع y = f(x) + 3 یعنی y = 2x - 1 + 3 = 2x + 2. شیب خط تغییر نمیکند (هنوز ۲ است) و عرض از مبدأ از -۱ به ۲ تغییر میکند، یعنی ۳ واحد بالا رفته است.
- مثال ۲ (درجهدوم)تابع اصلی:f(x) = x². تابع y = f(x) - 4 یعنی y = x² - 4. رأس سهمی از (۰,۰) به (۰,-۴) منتقل میشود و خط تقارن همچون قبل محور yهاست.
- مثال ۳ (قدرمطلق)تابع اصلی:f(x) = |x|. تابع y = f(x) + 2 یعنی y = |x| + 2. رأس V شکل از (۰,۰) به (۰,۲) منتقل شده و کل نمودار ۲ واحد بالاتر میآید.
۳. جدول مقایسهٔ تأثیر انتقال بر ویژگیهای تابع
| ویژگی تابع | تأثیر انتقال y=f(x)+k |
|---|---|
| دامنه (Domain) | بدون تغییر |
| برد (Range) | به اندازهٔ k واحد جابهجا میشود. اگر R_f = [a,b]، آنگاه R_{new} = [a+k, b+k] |
| محل برخورد با محور xها (ریشه) | تغییر میکند؛ معادله f(x) = -k باید حل شود. |
| محل برخورد با محور yها | از f(0) به f(0)+k تغییر میکند. |
| مجانبهای افقی | به همان اندازه k واحد جابهجا میشوند. |
۴. کاربرد عملی: از نظریه تا واقعیت
فرض کنید نمودار زیر، میزان فروش یک محصول (بر حسب میلیون تومان) را در طول ۱۲ ماه نشان میدهد. اگر شرکت تصمیم بگیرد به دلیل تورم، ۲ واحد به همهٔ مقادیر فروش اضافه کند، در واقع تابع فروش جدید برابر با S₂(t) = S₁(t) + 2 خواهد بود. شکل کلی روند فروش (صعودی یا نزولی بودن) کاملاً حفظ میشود، فقط تمام نقاط ۲ واحد بالاتر میآیند. به همین ترتیب، در مسائل فیزیک، اگر دمای اندازهگیریشده توسط یک سنسور خطای ثابت داشته باشد (k درجهٔ اختلاف)، کافی است مقدار خطا را به تابع دما اضافه یا کم کنیم تا نمودار واقعی بهدست آید.
همچنین در طراحی گرافیک رایانهای، برای جابهجایی یک شکل در راستای عمودی، مختصات y تمام نقاط آن با یک مقدار ثابت جمع میشود که همان قاعدهٔ y = f(x) + k را پیادهسازی میکند.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا انتقال عمودی میتواند تقارن یک نمودار را نسبت به محور xها یا مبدأ مختصات تغییر دهد؟
پاسخ: خیر. انتقال عمودی، تقارن نسبت به محور yها را حفظ میکند (چون مختصات x تغییری نمیکند) اما تقارن نسبت به محور xها و مبدأ مختصات را از بین میبرد، مگر اینکه تابع خاصی مانند f(x)=0 باشد که انتقال هم آن را تغییر نمیدهد. به عنوان مثال y=x² نسبت به محور yها متقارن است و y=x²+1 نیز همچنان این تقارن را دارد.
❓ چالش ۲: اگر تابعی دارای مجانب قائم باشد، انتقال عمودی چه تأثیری بر آن میگذارد؟
پاسخ: مجانب قائم تحت تأثیر انتقال عمودی قرار نمیگیرد، زیرا مکان مجانب قائم به مقادیر x بستگی دارد که تغییری نکردهاند. برای مثال، تابع y = 1/x دارای مجانب قائم x=0 است. تابع y = 1/x + 5 نیز همچنان مجانب قائم x=0 دارد.
❓ چالش ۳: آیا میتوان با ترکیب دو انتقال عمودی متوالی، به یک انتقال ساده رسید؟
پاسخ: بله. اگر ابتدا y = f(x) + k₁ و سپس y = [f(x) + k₁] + k₂ را اعمال کنیم، نتیجه برابر y = f(x) + (k₁ + k₂) خواهد بود. یعنی انتقالهای عمودی خاصیت جمعپذیری دارند و ترتیب آنها مهم نیست.
پاورقی
1 انتقال عمودی (Vertical Translation): جابهجایی یک نمودار به سمت بالا یا پایین بدون تغییر شکل آن.
