دامنهٔ تابع: مجموعهٔ ورودیهای مجاز
مفهوم دامنه و اعداد مجاز
به بیان ساده، دامنهDomain یک تابع مانند یک دستگاه خودپرداز است. شما فقط میتوانید مبالغی خاصی (مثلاً مضرب 5000 تومان) وارد کنید تا دستگاه به شما پول بدهد. اگر عدد دیگری وارد کنید، دستگاه خطا میدهد. در ریاضیات نیز تابع تنها برای بعضی از اعداد تعریف شده است. آن دسته از اعداد حقیقیReal Numbers که تابع برای آنها مقداری معین و معتبر دارد، «دامنهٔ تابع» نامیده میشوند. بقیهٔ اعداد که باعث ایجاد عبارتهای تعریفنشده مانند تقسیم بر صفر یا ریشهٔ زوج عدد منفی میشوند، در دامنه قرار نمیگیرند.
موانع اصلی: چه چیزهایی ورودی را غیرمجاز میکند؟
سه مانع اصلی در توابع جبری و متعالی، باعث محدود شدن دامنه میشوند. این موانع را باید مانند چراغ قرمز راهنمایی در نظر بگیریم که به ما میگویند تابع در آن نقاط تعریف نشده است:
- تقسیم بر صفر: مخرج کسر هرگز نباید صفر شود.
- ریشههای زوج: عبارت زیر رادیکال با فرجهٔ زوج (مانند $\sqrt{x}$ یا $\sqrt[4]{x}$) باید بزرگتر مساوی صفر باشد.
- لگاریتم: عبارت داخل لگاریتم (پایهٔ مثبت مخالف یک) باید اکیداً مثبت باشد.
برای مثال، تابع $f(x) = \frac{1}{x-2}$ در $x=2$ تعریف نشده است زیرا مخرج صفر میشود. همچنین تابع $g(x) = \sqrt{x-5}$ برای $x \lt 5$ تعریفنشده است، چون زیر رادیکال منفی میشود.
| نوع تابع | شرط دامنه | مثال نقض |
|---|---|---|
| گویا (کسری) | $مخرج \neq 0$ | $x=2$ در $\frac{1}{x-2}$ |
| رادیکالی با فرجهٔ زوج | $زیر رادیکال \ge 0$ | $x=-1$ در $\sqrt{x}$ |
| لگاریتمی | $عبارت داخل \log \gt 0$ | $x \le 0$ در $\ln(x)$ |
دامنهٔ توابع چندجملهای و گویا
توابع چندجملهایPolynomial Functions مانند $f(x)=x^2+2x-3$ برای هر عدد حقیقی تعریف شدهاند. پس دامنهٔ آنها تمام $\mathbb{R}$ است. اما توابع گویاRational Functions که به صورت کسر دو چندجملهای هستند، دامنهشان همهٔ اعداد حقیقی به جز ریشههای مخرج است. فرض کنید تابع $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 4}$ را داریم. برای پیدا کردن دامنه، باید مقادیری که مخرج را صفر میکنند پیدا کنیم:
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x = 2 \ \text{یا}\ x = -2$
پس دامنهٔ این تابع تمام اعداد حقیقی به جز $2$ و $-2$ است. با نماد $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$ نمایش داده میشود.
دامنهٔ توابع رادیکالی (با فرجهٔ زوج و فرد)
در توابع رادیکالی، فرجه اهمیت زیادی دارد. اگر فرجه فرد باشد (مثل $\sqrt[3]{x}$)، عبارت زیر رادیکال میتواند هر عدد حقیقی (مثبت، صفر، منفی) باشد. اما اگر فرجه زوج باشد (مثل $\sqrt{x}$ یا $\sqrt[4]{x}$)، زیر رادیکال باید بزرگتر مساوی صفر باشد. بیایید یک مثال ترکیبی ببینیم: دامنهٔ تابع $f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x-1}$ را به دست آورید.
گام اول (شرط رادیکال):$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$
گام دوم (شرط مخرج):$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
حالا باید اشتراک این دو شرط را بگیریم. یعنی تمام اعداد بزرگتر مساوی $-3$ به جز $x=1$. پس دامنه: $[-3, 1) \cup (1, +\infty)$
کاربرد عملی: از فرمول تا نمودار
فرض کنید مهندس عمران هستید و رابطهٔ بین نیروی باد ($F$) و سرعت باد ($v$) را با تابع $F(v) = \frac{1}{2} \rho A v^2$ مدل کردهاید. در اینجا $\rho$ چگالی هوا و $A$ سطح مقطع است. این تابع برای $v \ge 0$ تعریف میشود، زیرا سرعت باد نمیتواند منفی باشد. پس دامنه، بازهٔ $[0, +\infty)$ است. در طراحی سازه، تنها این بازه از سرعتها برای ما معنا دارد و بقیهٔ اعداد (سرعتهای منفی) از نظر فیزیکی غیرمجاز هستند. این همان مفهوم دامنه در دنیای واقعی است: تعیین محدودهٔ مجاز ورودی بر اساس قوانین حاکم بر مسئله.
چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا دامنهٔ تابع $f(x) = \sqrt{x^2}$ همهٔ اعداد حقیقی است؟
پاسخ: بله. اگر دقت کنید، $x^2$ همواره نامنفی است. برای هر $x$ حقیقی، $x^2 \ge 0$ است، پس شرط رادیکال برقرار است. بنابراین دامنه $\mathbb{R}$ میباشد.
❓ چالش ۲: چرا دامنهٔ تابع $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-5}}$، بازهٔ $(5, +\infty)$ است و شامل $5$ نمیشود؟
پاسخ: این تابع دو مانع دارد. اولاً رادیکال با فرجهٔ زوج است، پس $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. ثانیاً این رادیکال در مخرج کسر قرار دارد، پس باید حتماً مخالف صفر باشد: $\sqrt{x-5} \neq 0 \Rightarrow x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$. اشتراک دو شرط $x \ge 5$ و $x \neq 5$ همان $x > 5$ است.
❓ چالش ۳: آیا تابع $f(x) = \sqrt[3]{x-1} + \sqrt{x+2}$ برای $x=-3$ تعریف شده است؟
پاسخ: خیر. بخش اول که ریشهٔ فرد است، برای $x=-3$ برابر $\sqrt[3]{-4}$ میشود (تعریف شده). اما بخش دوم که ریشهٔ زوج است، شرط $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ را دارد. برای $x=-3$، عبارت $x+2 = -1$ شده و رادیکال تعریف نمیشود. پس دامنه اشتراک دو بخش است که $[-2, +\infty)$ میباشد.
نکات طلایی:
- همیشه ابتدا نوع تابع را تشخیص دهید: چندجملهای، گویا، رادیکالی، لگاریتمی یا ترکیبی.
- شرط هر بخش را جداگانه بنویسید و سپس اشتراک همهٔ شرایط را به عنوان دامنه معرفی کنید.
- برای نمایش دامنه از نمادهای بازهای استفاده کنید. پرانتز $($ و $)$ نشانهٔ عدمشمول و کروشه $[$ و $]$ نشانهٔ شمول نقطهاست.
پاورقیها
[1] Domain: در ریاضیات، به مجموعهٔ تمام مقادیر ورودی ممکن برای یک تابع گفته میشود که تابع برای آن مقادیر، خروجیای معتبر و یکتا داشته باشد.
[2] Real Numbers: اعداد حقیقی مجموعهای از اعداد شامل اعداد گویا (کسرها) و اعداد گنگ (مانند رادیکالها و عدد پی) هستند که روی محور اعداد جای میگیرند.
[3] Polynomial Functions: توابعی به شکل $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$ که در آن توانها اعداد صحیح نامنفی هستند.
[4] Rational Functions: توابعی که از تقسیم دو چندجملهای حاصل میشوند، مانند $\frac{P(x)}{Q(x)}$.
