نمودار تابع: نمایش مجموعه نقاط (x, f(x)) روی دستگاه مختصات
۱. دستگاه مختصات و زوجهای مرتب
برای نمایش یک تابع به شکل مجموعهٔ نقاط $(x, f(x))$ ابتدا به یک صفحهٔ مرجع نیاز داریم. این صفحه همان دستگاه مختصات قائم (دکارتی[2]) است که از دو محور عمود بر هم تشکیل شده: محور افقی x (طول) و محور عمودی y (عرض). نقطهٔ برخورد این دو محور را مبدأ مختصات مینامیم و آن را با $(0,0)$ نشان میدهیم. هر نقطه روی این صفحه با یک زوجمرتب $(x,y)$ مشخص میشود. در تابع، $y$ همان $f(x)$ است؛ بنابراین مجموعهٔ همهٔ نقاط $(x, f(x))$ شکل هندسی تابع را میسازد.
۲. گامهای رسم یک نمودار با جدول مقادیر
سادهترین راه برای رسم نمودار تابع، تهیهٔ جدول مقادیر است. در این روش چند مقدار دلخواه برای x از دامنهٔ تابع انتخاب میکنیم، f(x) را محاسبه کرده و زوجهای مرتب را روی صفحه علامت میزنیم. سپس با وصل کردن نقاط (با توجه به پیوستگی تابع) شکل کلی نمودار بهدست میآید. برای مثال تابع $f(x) = x^2 - 1$ را در نظر بگیرید:
| x | f(x) = x2 - 1 | زوجمرتب (x, f(x)) |
|---|---|---|
| -2 | (-2)2-1 = 4-1 = 3 | $(-2,3)$ |
| -1 | (-1)2-1 = 1-1 = 0 | $(-1,0)$ |
| 0 | (0)2-1 = 0-1 = -1 | $(0,-1)$ |
| 1 | (1)2-1 = 1-1 = 0 | $(1,0)$ |
| 2 | (2)2-1 = 4-1 = 3 | $(2,3)$ |
با قرار دادن این نقاط روی کاغذ شطرنجی و اتصال آنها (بهصورت هموار) یک سهمی رو به بالا به دست میآید که رأس آن در $(0,-1)$ است و محور x را در نقاط $x=-1$ و $x=1$ قطع میکند.
۳. ارتباط دامنه و برد با نمودار
نمودار تابع دید بسیار خوبی نسبت به دامنه و برد آن به ما میدهد. دامنهٔ تابع مجموعهٔ تمام xهایی است که تابع برای آنها تعریف شده است؛ روی نمودار این مقدار برابر با تمام طولهایی است که منحنی روی آنها کشیده شده است. برد نیز مجموعهٔ تمام yهای متناظر است. برای نمونه در تابع $f(x) = \sqrt{x}$، دامنه $x \ge 0$ بوده و برد نیز $y \ge 0$ است. در نمودار میبینیم که منحنی هرگز به سمت چپ محور $x$ (منفی) و پایینتر از محور $y$ (منفی) نمیرود.
مثال عینی: حرکت یک توپ
فرض کنید توپی را به هوا پرتاب میکنیم. ارتفاع توپ در زمان t (ثانیه) از تابع $h(t) = -5t^2 + 20t$ پیروی کند. با رسم نقاط $(t, h(t))$ یک سهمی رو به پایین به دست میآید. از روی نمودار میتوان بیشینهٔ ارتفاع (رأس سهمی) و زمان رسیدن به زمین (ریشهٔ مثبت معادله) را تخمین زد. برای نمونه $t=2$ ثانیه، $h=20$ متر است و در $t=4$ ثانیه ارتفاع صفر میشود.
۴. کاربردهای عملی نمودار تابع
نمودار توابع تنها یک ابزار کلاسی نیست؛ در اقتصاد، آمار، مهندسی و برنامهنویسی کاربرد فراوان دارد. برای مثال یک شرکت میخواهد بداند با تولید چه تعدادی کالا، سود آن بیشینه میشود. تابع سود را بر حسب تعداد کالا مینویسد و با رسم نمودار، نقطهٔ اوج را پیدا میکند. یا در فیزیک، مساحت زیر نمودار سرعت-زمان مسافت طیشده را نشان میدهد. در تمام این موارد، مجموعهٔ نقاط $(x,f(x))$ روی دستگاه مختصات است که تحلیل را ممکن میکند.
۵. چالشهای مفهومی
۱. آیا میتوان برای یک مقدار $x$، دو مقدار متفاوت $f(x)$ داشت؟
خیر. طبق تعریف تابع، به هر عضو دامنه (ورودی) فقط یک عضو برد (خروجی) تعلق میگیرد. اگر در نمودار، یک خط عمودی در $x$ مشخص، منحنی را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن منحنی نمودار یک تابع نیست. این همان «آزمون خط عمودی» است.
۲. چگونه از روی نمودار، دامنه و برد را تشخیص دهیم؟
دامنه مجموعهای از طولهایی است که منحنی روی آنها کشیده شده است. برای پیدا کردن آن، منحنی را روی محور $x$ تصویر (پخش) میکنیم. برد نیز با تصویر کردن منحنی روی محور $y$ بهدست میآید. برای مثال در تابع $f(x)=x^2$، دامنه همهٔ اعداد حقیقی ولی برد فقط اعداد غیرمنفی است.
۳. اگر تابع فقط با چند نقطهٔ گسسته داده شده باشد، چگونه آن را رسم کنیم؟
در توابع گسسته (مثل تعداد دانشآموزان بر اساس سال) نقاط را به صورت مجزا روی صفحه علامت میزنیم و آنها را به هم وصل نمیکنیم. مجموعهٔ نقاط $(x,f(x))$ در این حالت یک سری نقطهٔ مجزا خواهد بود.
پاورقی
[1] دستگاه مختصات قائم (Cartesian coordinate system): سامانهای برای تعیین موقعیت یک نقطه با دو عدد (طول و عرض) روی صفحه.
[2] دکارتی (Cartesian): منسوب به رنه دکارت، فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی که این دستگاه را معرفی کرد.
