اصول موضوعهٔ احتمال: بنیاد محاسبات شانس
بررسی قواعد سهگانهٔ کولموگورف که تعریف و محاسبهٔ احتمال رویدادها را ممکن میسازد
در این مقاله با زبانی ساده با اصول موضوعه احتمال 1 آشنا میشویم. این اصول، پایه و اساس علم احتمال هستند و به ما میگویند که چگونه احتمال یک رویداد 2 را بهدرستی محاسبه کنیم. با کمک مثالهای علمی و روزمره، سه اصل مهم: نا منفی بودن، یکه بودن کل فضا و جمع پذیری رویدادهای ناسازگار 3 را بررسی خواهیم کرد.
احتمال چیست و چرا به اصول نیاز داریم؟
پیش از آنکه وارد اصول شویم، بیایید ببینیم اصلاً «احتمال» به چه معناست. احتمال، عددی بین 0 و 1 است که میزان شانس رخ دادن یک پیشامد را نشان میدهد. اگر احتمال رخ دادن رویدادی 0 باشد، یعنی وقوع آن غیرممکن است و اگر 1 باشد، وقوع آن قطعی و حتمی است. اما برای اینکه محاسباتمان با یکدیگر سازگار و منطقی باشد، نیاز به یک سری قوانین پایهای داریم. این قوانین همان «اصول موضوعه احتمال» هستند که توسط ریاضیدان روسی، آندری کولموگورف 4، در قرن بیستم میلادی پایهگذاری شد. بدون این اصول، محاسبه احتمال به آشفتگی و نتایج متناقض منجر میشد.
مثال علمی در پرتاب یک سکه، دو نتیجهٔ ممکن داریم: «رو» یا «پشت». اگر سکه کاملاً متقارن باشد، احتمال آمدن «رو» برابر 0.5 است. این عدد از کجا میآید؟ از اصول موضوعه احتمال.
اصل اول: نا منفی بودن احتمال
سادهترین و شهودیترین اصل این است که احتمال هر رویداد A هرگز نمیتواند عددی منفی باشد. به عبارت دیگر، کوچکترین مقداری که احتمال میتواند داشته باشد، 0 است. این اصل با نماد ریاضی به این شکل نوشته میشود: $P(A) \ge 0$ چرا این اصل بدیهی به نظر میرسد؟ زیرا مفهوم احتمال منفی در دنیای واقعی معنا ندارد. نمیتوانیم بگوییم «احتمال باران آمدن فردا، منفی 0.2 است». این اصل تضمین میکند که تمام محاسبات ما در محدودهٔ منطقی و قابل قبول باقی بمانند.اصل دوم: احتمال فضای نمونه یک است
فضای نمونه 5 که آن را با S نشان میدهیم، مجموعهای از تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی است. اصل دوم میگوید که احتمال اینکه هر یک از نتایج ممکن رخ دهد (یعنی کل فضای نمونه) حتماً برابر 1 است. $P(S) = 1$ این اصل به این معناست که انجام یک آزمایش تصادفی، همیشه به یک نتیجه منجر میشود. برای مثال، در پرتاب یک تاس، حتماً یکی از اعداد 1 تا 6 ظاهر خواهد شد. بنابراین، احتمال آمدن هر یک از این اعداد با هم، برابر 1 است.| آزمایش تصادفی | فضای نمونه (S) | دلیل P(S)=1 |
|---|---|---|
| پرتاب یک سکه | {رو، پشت} | قطعاً یا رو میآید یا پشت. |
| پرتاب یک تاس | {1,2,3,4,5,6} | حتماً یکی از شش وجه تاس ظاهر میشود. |
| انتخاب یک کارت از ۵۲ برگ | مجموعه تمام ۵۲ کارت | کارت انتخابی حتماً یکی از این ۵۲ برگ است. |
اصل سوم: جمع پذیری رویدادهای ناسازگار
این اصل، مهمترین و کاربردیترین اصل در محاسبه احتمالات است. دو رویداد را «ناسازگار» 6 مینامیم اگر نتوانند همزمان با یکدیگر رخ دهند. اصل سوم میگوید که اگر A و B دو رویداد ناسازگار باشند، احتمال اینکه یکی از آنها (A یا B) رخ دهد، برابر است با جمع احتمال هر یک به تنهایی. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ علامت $\cup$ در ریاضی به معنای «اجتماع» یا «یا» است. این قاعده برای تعداد بیشتری از رویدادهای ناسازگار نیز قابل تعمیم است.
مثال عینی: یک تاس را پرتاب میکنیم. احتمال آمدن عدد 2 چقدر است؟ $P(2) = \frac{1}{6}$. احتمال آمدن عدد 5 نیز $\frac{1}{6}$ است. این دو رویداد ناسازگارند، زیرا یک تاس نمیتواند همزمان هم 2 بیاید و هم 5. بنابراین، احتمال اینکه تاس 2 یا 5 بیاید، برابر است با:
$P(2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
کاربرد اصول در محاسبه احتمال مکمل
یکی از نتایج مهم و پرکاربرد سه اصل فوق، قاعدهای برای محاسبه احتمال «مکمل» 7 یک رویداد است. مکمل رویداد A که آن را با $A^c$ نشان میدهیم، به معنای «رخ ندادن A» است. از آنجا که A و $A^c$ دو رویداد ناسازگار هستند و اجتماع آنها کل فضای نمونه S است، با استفاده از اصول دوم و سوم داریم: $P(A) + P(A^c) = P(S) = 1$ بنابراین، قانون مهم زیر به دست میآید: $P(A^c) = 1 - P(A)$ این قانون بسیار مفید است، بهخصوص وقتی محاسبه مستقیم احتمال رخ دادن یک رویداد دشوار باشد، اما محاسبهی «رخ ندادن» آن آسان.چالشهای مفهومی
۱. اگر احتمال رویدادی 1.2 باشد، چه اشکالی پیش آمده است؟
این مقدار با اصل دوم در تضاد است. احتمال هر رویداد نمیتواند از 1 بیشتر باشد، زیرا حداکثر احتمال (رخ دادن قطعی رویداد) برابر 1 است. احتمال 1.2 معنی ندارد و نشاندهندهٔ خطا در محاسبه یا تعریف رویداد است.
۲. آیا میتوانیم برای محاسبه احتمال آمدن 2 یا 4 در یک تاس، از اصل سوم استفاده کنیم؟ اگر تاس 4 بیاید، آیا 2 هم آمده است؟
خیر. این دو رویداد ناسازگار هستند زیرا در یک پرتاب، تاس فقط یک عدد را نشان میدهد. بنابراین، آمدن 4 به معنای نیامدن 2 است. پس میتوانیم از اصل سوم استفاده کنیم: $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.
۳. اگر احتمال بارانی بودن هوا را 0.3 و احتمال آفتابی بودن را 0.4 بدانیم، آیا میتوان نتیجه گرفت احتمال بارانی یا آفتابی بودن هوا 0.7 است؟
تنها در صورتی میتوانیم این جمع را انجام دهیم که مطمئن باشیم دو رویداد «بارانی» و «آفتابی» ناسازگارند. در یک بازه زمانی مشخص (مثلاً یک ساعت)، هوا معمولاً نمیتواند همزمان هم بارانی و هم آفتابی باشد. اگر این دو حالت را برای یک لحظه در نظر بگیریم، ناسازگار هستند و جمع جواب صحیح است. اما اگر بازه زمانی طولانی باشد، ممکن است هر دو رخ دهند و در آن صورت رویدادها ناسازگار نیستند و نمیتوان از اصل سوم استفاده کرد.
جمعبندی: اصول موضوعه احتمال، قوانین پایهای و سادهای هستند که کل علم آمار و احتمال بر روی آنها بنا شده است. اصل اول (نا منفی بودن) از منطقی بودن اعداد اطمینان میدهد، اصل دوم (یک بودن کل فضا) قطعیت وقوع یکی از نتایج ممکن را تضمین میکند و اصل سوم (جمع پذیری رویدادهای ناسازگار) ابزار اصلی برای محاسبه احتمال رویدادهای مرکب است. درک این سه اصل، کلید ورود به دنیای جذاب پیشبینیها و تحلیلهای آماری است.
پاورقی
1 اصول موضوعه احتمال (Axioms of Probability): مجموعهای از قوانین بنیادی که توسط آندری کولموگورف ارائه شد و مبنای تعریف و محاسبه احتمال را تشکیل میدهد.2 رویداد (Event): زیرمجموعهای از فضای نمونه که به وقوع پیوستن آن مورد نظر ماست.
3 رویدادهای ناسازگار (Mutually Exclusive Events): رویدادهایی که نمیتوانند همزمان رخ دهند.
4 آندری کولموگورف (Andrey Kolmogorov): ریاضیدان برجسته روسی که در قرن بیستم میلادی با ارائه اصول موضوعه، علم احتمال را به صورت مدرن و دقیق پایهگذاری کرد.
5 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی.
6 رویداد ناسازگار (Mutually Exclusive Event): به رویدادهایی گفته میشود که اشتراک آنها تهی است.
7 مکمل یک رویداد (Complement of an Event): مجموعه تمام نتایج در فضای نمونه که در آن رویداد رخ نداده باشد.
