برآورد نسبت و پارامتر نسبت: تخمین سهم/درصد افرادِ دارای یک ویژگی در جامعه

برآورد نسبت: تخمین سهم افراد دارای یک ویژگی در جامعه

نسبت جامعه و نسبت نمونه: تعریف و تفاوت

در آمار، هنگامی که می‌خواهیم درباره یک جامعه بزرگ (مثل همه دانش‌آموزان یک کشور) اظهار نظر کنیم، بررسی تک‌تک افراد تقریباً غیرممکن است. به جای آن، از یک گروه کوچک‌تر به نام نمونه² استفاده می‌کنیم. نسبت افراد دارای یک ویژگی در کل جامعه را با حرف $p$ نشان می‌دهیم که به آن نسبت واقعی جامعه می‌گوییم. اما چون معمولاً $p$ را نمی‌دانیم، آن را با استفاده از نمونه تخمین می‌زنیم. تخمین ما را با $\hat{p}$ (بخوانید «پِی هت») نمایش می‌دهند که همان نسبت نمونه است. فرمول آن ساده است:

در این فرمول، $x$ تعداد افراد دارای ویژگی در نمونه و $n$ حجم نمونه است. برای نمونه‌گیری تصادفی ساده، $\hat{p}$ یک تخمین‌گر نااریب³ برای $p$ محسوب می‌شود. یعنی اگر بارها و بارها نمونه‌گیری کنیم، میانگین $\hat{p}$ها به $p$ نزدیک خواهد بود.

توزیع نمونه‌گیری نسبت و خطای استاندارد

برای تعیین میزان خطای تخمین، باید بدانیم $\hat{p}$ در نمونه‌های مختلف چگونه رفتار می‌کند. بر اساس قضیه حد مرکزی⁴، اگر حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد (معمولاً $n \ge 30$ و همچنین $n \hat{p} \ge 5$ و $n(1-\hat{p}) \ge 5$)، توزیع $\hat{p}$ تقریباً نرمال⁵ خواهد بود با میانگین $p$ و انحراف معیار که به آن خطای استاندارد نسبت می‌گوییم:

از آنجا که $p$ را نمی‌دانیم، در عمل از تخمین آن یعنی $\hat{p}$ استفاده می‌کنیم و خطای استاندارد برآوردی را محاسبه می‌نماییم:

این خطای استاندارد نشان می‌دهد که نسبت نمونه تا چه اندازه می‌تواند از نسبت واقعی جامعه فاصله داشته باشد. هرچه حجم نمونه $n$ بیشتر باشد، خطای استاندارد کوچک‌تر و تخمین ما دقیق‌تر خواهد بود.

فاصله اطمینان برای نسبت واقعی جامعه

به جای آنکه فقط یک عدد (مثل 0.12) را به عنوان تخمین ارائه دهیم، بهتر است یک بازه (فاصله) تعریف کنیم که با احتمال معینی نسبت واقعی $p$ درون آن قرار دارد. به این بازه، فاصله اطمینان می‌گوییم. رایج‌ترین سطح اطمینان، 95% است. فرمول عمومی فاصله اطمینان برای نسبت به شکل زیر است:

در اینجا $z^*$ مقدار بحرانی از توزیع نرمال استاندارد است که به سطح اطمینان بستگی دارد. برای سطح اطمینان 95%، $z^* = 1.96$ (تقریباً 2). برای سطح اطمینان 90%، $z^* = 1.645$ و برای 99%، $z^* = 2.576$.

به مثال دانش‌آموزان چپ‌دست بازگردیم. با $\hat{p}=0.12$ و $n=100$، فاصله اطمینان 95% به صورت زیر محاسبه می‌شود:

بنابراین بازه تقریباً از $0.0563$ تا $0.1837$ (یعنی 5.6% تا 18.4%) خواهد بود. با 95% اطمینان می‌گوییم که نسبت واقعی دانش‌آموزان چپ‌دست در کل دبیرستان بین 5.6% و 18.4% قرار دارد.

تعیین حجم نمونه مورد نیاز برای دقت مشخص

گاهی پیش از انجام پژوهش می‌خواهیم بدانیم چه تعداد نفر باید نمونه‌گیری کنیم تا فاصله اطمینان دارای طول معین (یا حاشیه خطای مشخص) باشد. اگر حاشیه خطای مورد نظر را با $E$ نشان دهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

از آنجا که $p$ را نمی‌دانیم، می‌توانیم از یک تخمین اولیه یا محافظه‌کارانه‌ترین حالت (که $p=0.5$ است) استفاده کنیم، زیرا حاصلضرب $p(1-p)$ در $p=0.5$ به بیشینه خود می‌رسد و بزرگترین حجم نمونه را نتیجه می‌دهد. برای مثال، اگر بخواهیم با سطح اطمینان 95% حاشیه خطای حداکثر 0.03 (سه درصد) داشته باشیم و تخمینی از $p$ نداشته باشیم، حجم نمونه لازم برابر است با:

بنابراین به حدود 1067 نفر نیاز داریم.

مثال عینی: نظرسنجی از طرفداران یک تیم فوتبال

فرض کنید یک شبکه ورزشی می‌خواهد درصد طرفداران تیم «پیروزی» را در بین همه بینندگان خود در یک شهر تخمین بزند. از میان 500 نفر که به طور تصادفی انتخاب شده‌اند، 200 نفر اعلام می‌کنند که طرفدار این تیم هستند. بنابراین $\hat{p} = 200/500 = 0.40$. برای ساختن فاصله اطمینان 95%، خطای استاندارد را محاسبه می‌کنیم:

حاشیه خطا برابر $1.96 \times 0.0219 \approx 0.0429$ است. بازه اطمینان: $0.40 \pm 0.0429$ یعنی از $0.3571$ تا $0.4429$ (35.7% تا 44.3%). شبکه ورزشی می‌تواند با اطمینان 95% گزارش دهد که طرفداران تیم پیروزی بین 35.7% و 44.3% از کل بینندگان را تشکیل می‌دهند.

چالش‌های مفهومی

پاورقی