مدلسازی با تابع: وقتی ریاضیات به کمک توصیف دنیای واقعی میآید
گام نخست: شناسایی متغیرها و رابطهٔ میان آنها
هر پدیدهای در دنیای واقعی شامل کمیتهایی است که تغییر میکنند. برای مدلسازی، ابتدا باید تشخیص دهیم که کدام کمیت مستقل است (ورودی) و کدام کمیت وابسته به آن (خروجی). به عنوان مثال، در تماشای یک فیلم، مدت زمان پخش فیلم (متغیر مستقل) تعیین میکند که چقدر از فیلم را دیدهایم (متغیر وابسته). سپس باید نوع رابطه را مشخص کنیم: آیا با هر دقیقه که میگذرد، میزان فیلم دیده شده به طور ثابت افزایش مییابد (رابطه خطی)؟ یا شاید رشد جمعیت با شتاب بیشتری اتفاق میافتد (رابطه نمایی)؟ انتخاب نوع تابع به ماهیت پدیده بستگی دارد.
مدلسازی با توابع خطی: ساده و همهجا حاضر
سادهترین نوع مدلسازی با توابع خطی انجام میشود. فرم کلی آن به صورت $f(x) = ax + b$ است که در آن $a$ نرخ تغییر (شیب) و $b$ مقدار اولیه (عرض از مبدأ) است. فرض کنید میخواهیم هزینهٔ یک تاکسی اینترنتی را مدل کنیم. اگر سفر با یک مبلغ ثابت ۵۰,۰۰۰ ریال شروع شود و به ازای هر کیلومتر ۱۵,۰۰۰ ریال اضافه گردد، هزینه کل تابعی از مسافت طی شده خواهد بود:
مدلسازی سهمیگونه: توابع درجه دوم در مسیر پرتابهها
بسیاری از پدیدهها دارای رابطهٔ غیرخطی هستند. مسیر حرکت یک توپ که به هوا پرتاب میشود، یک سهمی را توصیف میکند که با تابع درجه دوم $f(x) = ax^2 + bx + c$ مدلسازی میشود. فرض کنید یک توپ از ارتفاع ۲ متری زمین با سرعت اولیه ۲۰ متر بر ثانیه به سمت بالا پرتاب شود. اگر شتاب گرانش را $10 \ m/s^2$ در نظر بگیریم، ارتفاع توپ پس از $t$ ثانیه برابر است با:
با استفاده از این تابع میتوانیم بیشینهٔ ارتفاع (رأس سهمی) و مدت زمان رسیدن توپ به زمین را محاسبه کنیم. رأس سهمی در $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ ثانیه رخ میدهد که ارتفاع آن $h(2) = 22$ متر خواهد بود.
رشد انفجاری: توابع نمایی در جمعیت و سرمایه
زمانی که یک کمیت با درصد ثابتی رشد کند، با مدل نمایی روبرو هستیم. فرم کلی آن $f(t) = A \cdot b^t$ است که $A$ مقدار اولیه و $b$ عامل رشد است. بهترین مثال برای این مدل، سود مرکب در بانکهاست. فرض کنید مبلغ ۱۰۰,۰۰۰,۰۰۰ ریال را با نرخ سود سالانه ۲۰ درصد در بانک سرمایهگذاری کنیم. مقدار سرمایه پس از $t$ سال برابر است با:
این تابع نشان میدهد که چگونه سرمایه در طول زمان با شتاب افزایش مییابد. پس از ۵ سال، سرمایه به $S(5) = 100000000 \times (1.2)^5 \approx 248832000$ ریال میرسد.
| نوع تابع | فرم عمومی | مثال واقعی | نرخ تغییرات |
|---|---|---|---|
| خطی | $y = ax + b$ | تبدیل واحد دما (سلسیوس به فارنهایت) | ثابت |
| درجه دوم | $y = ax^2 + bx + c$ | مساحت مربع بر حسب طول ضلع | خطی (افزایشی) |
| نمایی | $y = A \cdot b^x$ | رشد جمعیت با نرخ ثابت | نسبت به مقدار فعلی |
چالشهای مفهومی در مدلسازی با تابع
از داده تا تابع: گامهای عملی مدلسازی
فرض کنید در یک آزمایش، دمای یک مایع در حال سرد شدن را هر ۱۰ دقیقه یک بار اندازهگیری کردهایم. دادهها نشان میدهند که دما به سرعت کاهش مییابد و سپس کندتر میشود. برای مدلسازی این پدیده، مراحل زیر را طی میکنیم:
- گام ۱رسم دادهها: نقاط (زمان، دما) را روی یک صفحه مختصات رسم میکنیم تا شکل کلی رابطه را ببینیم.
- گام ۲تشخیص الگو: شکل نقاط شبیه به یک منحنی نمایی کاهشی است ($T(t) = T_0 \cdot e^{-kt} + T_{room}$).
- گام ۳یافتن پارامترها: با استفاده از دو نقطه از دادهها (یا روشهای پیشرفتهتر)، ثابتهای $T_0$ و $k$ را تخمین میزنیم.
- گام ۴اعتبارسنجی: پیشبینی مدل را با دادههای دیگری که در ساخت مدل استفاده نشدهاند، مقایسه میکنیم.
