تشخیص تابع از روی زوجهای مرتب
تابع چیست؟ تعریف بر اساس زوجهای مرتب
در ریاضیات، یک رابطه بین دو مجموعه (مثلاً مجموعه A به مجموعه B) را میتوان به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب (x, y) نشان داد که در آن x متعلق به A و y متعلق به B است. حالا این رابطه یک تابع5 نامیده میشود اگر و فقط اگر هیچ دو زوج مرتب متمایزی با مؤلفههای اول یکسان وجود نداشته باشند. به بیان سادهتر:
- هر ورودی (x) باید یک خروجی منحصربهفرد (y) داشته باشد.
- اگر یک x مشخص در دو زوج جداگانه با دو y متفاوت ظاهر شود، آن رابطه تابع نیست.
گامهای عملی برای تشخیص تابع بودن
برای اینکه سریع و بدون اشتباه تشخیص دهیم که یک مجموعه از زوجهای مرتب تابع است یا نه، میتوانیم مراحل زیر را به ترتیب انجام دهیم:
- لیست کردن مؤلفههای اول: تمام اعداد یا اشیایی که در سمت چپ زوجها قرار دارند را در یک مجموعه بنویسید.
- بررسی تکراریها: اگر هر یک از این مؤلفهها فقط یک بار در کل مجموعه ظاهر شده باشد، رابطه تابع است. اگر یک مؤلفه بیش از یک بار تکرار شود، به مرحله بعد بروید.
- بررسی مؤلفههای دوم: اگر مؤلفههای اول تکراری، مؤلفههای دوم یکسانی داشته باشند، باز هم تابع است. اما اگر مؤلفههای دوم متفاوت باشند، رابطه تابع نیست.
بیایید این مراحل را با چند مثال ساده تمرین کنیم. فرض کنید سه رابطه R1، R2 و R3 داریم.
| رابطه | مؤلفههای اول | آیا تابع است؟ | دلیل |
|---|---|---|---|
| {(1, a), (2, b), (3, c)} | {1, 2, 3} (همگی یکتا) | بلی | هیچ مؤلفه اولی تکرار نشده است. |
| {(1, a), (1, b), (2, c)} | {1, 1, 2} (1 دوبار) | خیر | مؤلفه اول 1 دو خروجی متفاوت a و b دارد. |
| {(1, a), (2, a), (1, a)} | {1, 2, 1} (1 دوبار) | بلی | اگرچه 1 تکرار شده، ولی هر دو بار خروجی یکسان a را دارد (تکرار یک زوج، اشکال ایجاد نمیکند). |
کاربرد عملی: نمودار پیکانی و آزمون خط عمودی
فرض کنید زوجهای مرتب یک رابطه را روی یک نمودار (نقاطی در صفحه مختصات) رسم کردهایم. روش دیگر برای تشخیص تابع بودن، استفاده از آزمون خط عمودی است. اگر بتوانیم یک خط عمودی (موازی محور عمودها) رسم کنیم که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آنگاه رابطه تابع نیست. دلیل این امر آن است که آن خط عمودی در حقیقت نشاندهنده یک مؤلفه اول ثابت (x) است و نقاط برخورد نشاندهنده مؤلفههای دوم متفاوت (y) برای آن x میباشند. این دقیقاً همان قانون زوجهای مرتب است که به زبان هندسی بیان شده است.
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ اگر در یک رابطه، مؤلفههای اول تکراری باشند اما مؤلفههای دوم نیز با آنها برابر باشند (مثلاً هر دو زوج (۲, ۵) و (۲, ۵) باشند)، آیا رابطه تابع محسوب میشود؟
بله. در مجموعهها، اعضای تکراری معنا ندارند و معمولاً فقط یک بار نوشته میشوند. اگر به هر دلیل یک زوج تکراری داشته باشیم، قانون تابع بودن را نقض نمیکند چون مؤلفههای دوم متفاوت نیستند. بنابراین تابع است.
❓ رابطه R = {(x, y) | y = x} را در نظر بگیرید. آیا این رابطه تابع است؟ اگر بله، چرا؟
بله، این رابطه تابع است. اگرچه بینهایت زوج مرتب دارد، اما برای هر x فقط یک y وجود دارد (همان x). بنابراین قانون «هر مؤلفه اول یک مؤلفه دوم یکتا» برقرار است. توجه کنید که تابع بودن به تعداد اعضا ربطی ندارد، بلکه به رابطه بین آنها مربوط است.
❓ آیا تابع بودن یک رابطه به این معناست که حتماً باید یک فرمول جبری مانند y = 2x داشته باشد؟
خیر، به هیچ وجه. توابع میتوانند به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب تعریف شوند، بدون اینکه یک ضابطه جبری مشخص داشته باشند. برای مثال، رابطه {(تهران, پایتخت ایران), (پاریس, پایتخت فرانسه)} یک تابع است، زیرا هر شهر (مؤلفه اول) فقط به یک مفهوم (پایتخت بودن) نسبت داده شده است.
پاورقیها
- ضابطه (Rule): فرمول یا قانونی که رابطه بین ورودی و خروجی یک تابع را مشخص میکند.
- دامنه (Domain): مجموعه تمام مؤلفههای اول (ورودیهای) یک رابطه یا تابع.
- برد (Range): مجموعه تمام مؤلفههای دوم (خروجیهای) یک رابطه یا تابع.
- آزمون خط عمودی (Vertical Line Test): روشی هندسی برای تشخیص تابع بودن یک نمودار که اگر خطی عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، نمودار تابع نیست.
- تابع (Function): رابطهای که به هر عضو از دامنه (مجموعه ورودی) دقیقاً یک عضو از برد (مجموعه خروجی) را نسبت میدهد.
