دسته یا بازه: کلید طلایی خلاصهسازی دادههای پیوسته
۱. دستهبندی دادهها: از اعداد خام تا نظم بصری
فرض کنید نمرات نهایی درس ریاضی 30 دانشآموز به صورت زیر است: 11, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 50. نگاه کردن به این لیست طولانی از اعداد، هیچ بینش خاصی به ما نمیدهد. اینجا جایی است که مفهوم «دسته» وارد عمل میشود.
دسته یا بازه، محدودهای از مقادیر است که ما دادهها را در آن گروهبندی میکنیم. به عنوان مثال، میتوانیم نمرات را در دستههای ۱۰ نمرهای از ۱۰ تا ۲۰، ۲۰ تا ۳۰ و ... گروهبندی کنیم. سپس تعداد دانشآموزانی که نمرهشان در هر دسته قرار میگیرد را شمارش میکنیم. این تعداد را «فراوانی» مینامیم. نتیجه این کار، جدول زیر است که به آن «جدول توزیع فراوانی» میگویند.
| دستهها (بازههای نمره) | شمارش (فراوانی) |
|---|---|
| ۱۰ تا ۲۰ | ۴ |
| ۲۰ تا ۳۰ | ۱۰ |
| ۳۰ تا ۴۰ | ۱۲ |
| ۴۰ تا ۵۰ | ۴ |
همانطور که میبینید، با این کار به سرعت متوجه میشویم که بیشتر دانشآموزان نمراتی بین ۳۰ و ۴۰ گرفتهاند و تعداد دانشآموزان با نمرات خیلی پایین یا خیلی بالا کم است. این همان اطلاعاتی است که از لیست خام اعداد قابل استخراج نبود. این دستهبندی، پایه و اساس رسم یک هیستوگرام1 است.
۲. عناصر اصلی یک دسته: طول دسته و مرزها
هر دسته دارای دو ویژگی مهم است: طول دسته و مرزهای دسته. «طول دسته» یا پهنای دسته، اختلاف بین کران بالا و پایین آن است. در مثال بالا، طول همه دستهها برابر با ۱۰ است (۲۰ - ۱۰ = ۱۰). «مرزهای دسته» نقاط شروع و پایان هر دسته هستند. یک نکته مهم در مورد دادههای پیوسته این است که مرزهای دسته نباید دارای شکاف یا همپوشانی باشند.
برای مثال، اگر دادههای ما شامل اعداد اعشاری نیز باشند (مثلاً نمره ۲۰.۵)، دستهبندی ۱۰-۲۰ و ۲۰-۳۰ مشکلساز میشود، زیرا عدد ۲۰ در دو دسته قرار میگیرد. برای حل این مشکل، از «مرزهای حقیقی» استفاده میکنیم. برای دسته ۱۰-۲۰، مرز پایین حقیقی ۹.۵ و مرز بالای حقیقی ۲۰.۵ در نظر گرفته میشود. به این ترتیب، دسته بعدی از ۲۰.۵ شروع شده و دادهها بدون ابهام در یک دسته خاص قرار میگیرند.
۳. کاربرد عملی: تحلیل نتایج یک نظرسنجی آنلاین
فرض کنید یک وبسایت آموزشی، نظرسنجیای درباره مدت زمان مطالعه روزانه دانشآموزان (۲۰۰ شرکتکننده) انجام داده است. دادههای خام شامل اعدادی مانند ۰.۵ ساعت، ۱.۲ ساعت، ۳ ساعت و ... هستند. برای تحلیل این دادهها، باید آنها را در دستههای معناداری گروهبندی کنیم.
مدیر سایت تصمیم میگیرد دادهها را در دستههای زیر گروهبندی کند:
- ۰ تا ۱ ساعت (مطالعه کم)
- ۱ تا ۲ ساعت (مطالعه متوسط)
- ۲ تا ۳ ساعت (مطالعه خوب)
- ۳ تا ۵ ساعت (مطالعه عالی)
پس از شمارش، فراوانی هر دسته مشخص میشود. با رسم هیستوگرام این دادهها، مدیر سایت به راحتی میبیند که بیشتر دانشآموزان در کدام بازه زمانی قرار دارند و بر اساس آن، میتواند محتوای آموزشی یا برنامههای تشویقی خود را تنظیم کند. به عنوان مثال، اگر بیشتر دانشآموزان در دسته ۰-۱ ساعت باشند، شاید لازم باشد ویدیوهای کوتاهتری تولید کند.
۴. چالشهای مفهومی دستهبندی دادهها
چالش ۱: اگر طول دستهها را برابر انتخاب نکنیم چه اتفاقی میافتد؟
در هیستوگرام، مساحت هر مستطیل نشاندهنده فراوانی آن دسته است. اگر طول دستهها مساوی نباشد، برای مقایسه صحیح باید به جای «فراوانی» از «چگالی فراوانی» استفاده کنیم. چگالی فراوانی از تقسیم فراوانی بر طول دسته به دست میآید. در غیر این صورت، دستههای عریضتر به طور ناعادلانهای بزرگتر به نظر میرسند و تصویر گمراهکنندهای از دادهها ارائه میدهند.
چالش ۲: بهترین تعداد دستهها برای یک مجموعه داده چندتاست؟
پاسخ دقیقی برای این سوال وجود ندارد، اما قوانین سرانگشتی متعددی کمک میکنند. یکی از معروفترین آنها، فرمول استرجز است: $k = 1 + 3.322 \log_{10}(n)$ که در آن $k$ تعداد دستهها و $n$ تعداد دادههاست. روش دیگر استفاده از قانون ریشه دوم است: $k \approx \sqrt{n}$. مهمترین اصل این است که هیستوگرام نهایی باید هم ساده و هم گویا باشد.
چالش ۳: با دادههای پرت (Outlier) در دستهبندی چه کنیم؟
دادههای پرت، مقادیری هستند که با بقیه دادهها فاصله زیادی دارند. اگر این دادهها را در دستهبندی معمولی بگنجانیم، ممکن است باعث ایجاد دستههای خالی زیادی در هیستوگرام شوند. یک راه حل، تعریف یک دسته مجزا با عنوان «سایر موارد» یا در نظر گرفتن طول دستههای باز در دو انتهای طیف است (مثلاً «بیشتر از ۵۰»). این کار به ما امکان میدهد تا تمرکز اصلی را روی توده اصلی دادهها حفظ کنیم.
پاورقی
1 واژه فارسی: هیستوگرام (Histogram): یک نمودار ستونی است که در آن سطح هر ستون نشاندهنده فراوانی دادهها در آن دسته است و برای نمایش توزیع دادههای پیوسته به کار میرود.
2 واژه فارسی: فرمول استرجز (Sturges' Formula): یک قانون سرانگشتی برای تعیین تعداد بهینه دستهها در یک توزیع فراوانی بر اساس تعداد دادهها است. این فرمول فرض میکند که دادهها تقریباً نرمال هستند.