نمایش و توصیف داده‌ها: ارائهٔ داده‌ها به صورت جدول یا نمودار برای فهم بهتر و بیان ویژگی‌های داده‌ها با شاخص‌ها و خلاصه‌ها

نمایش و توصیف داده‌ها: از اعداد خام تا بینش روشن

جدول‌ها: اولین گام در سازماندهی داده‌ها

وقتی با یک سری داده روبه‌رو می‌شویم، اولین و ساده‌ترین کار برای نظم بخشیدن به آن‌ها، قرار دادنشان در یک جدول است. جدول به ما امکان می‌دهد داده‌ها را به صورت سطر و ستون ببینیم و مقایسه‌ها را آسان‌تر کند. تصور کنید نتیجه یک امتحان ریاضی از 20 دانش‌آموز را داریم. جدول زیر نمرات این دانش‌آموزان را نشان می‌دهد:

همانطور که می‌بینید، جدول به ما دید بهتری از محدوده نمرات می‌دهد، اما هنوز برای نتیجه‌گیری سریع کافی نیست. مثلاً نمی‌توانیم به راحتی بگوییم عملکرد کلی کلاس چطور بوده است. برای این کار به سراغ نمودارها و شاخص‌های توصیفی می‌رویم.

نمودارها: ارتباط تصویری با داده‌ها

نمودارها، داده‌های خام جدول را به زبان تصویر ترجمه می‌کنند و درک الگوها، روندها و مقایسه‌ها را بسیار سریع‌تر می‌کنند. انتخاب نوع نمودار به هدف ما و نوع داده‌ها بستگی دارد. در ادامه با سه نوع پرکاربرد آشنا می‌شویم.

نمودار میله‌ای برای مقایسه مقادیر دسته‌های مختلف عالی است. برای مثال، اگر بخواهیم نمرات دانش‌آموزان را با هم مقایسه کنیم، نمودار میله‌ای انتخاب مناسبی است.

نمودار خطی بهترین گزینه برای نمایش تغییرات یک پدیده در طول زمان است. مثلاً تغییرات دمای هوای یک شهر در طول یک هفته.

نمودار دایره‌ای سهم هر بخش از یک کل را نشان می‌دهد. فرض کنید می‌خواهیم بدانیم چه درصدی از دانش‌آموزان نمره‌های عالی (18-20)، خوب (15-17)، متوسط (12-14) و ضعیف (زیر 12) گرفته‌اند. نمودار دایره‌ای این توزیع را به خوبی نمایش می‌دهد.

شاخص‌های مرکزی: نقطه ثقل داده‌ها

شاخص‌های مرکزی¹ به ما می‌گویند که «مرکز» داده‌ها کجاست و داده‌ها حول چه مقداری جمع شده‌اند. مهم‌ترین این شاخص‌ها عبارتند از:

• میانگین²: همان معدل گیری است که همه با آن آشنا هستیم. برای محاسبه آن، همه داده‌ها را با هم جمع کرده و بر تعدادشان تقسیم می‌کنیم. فرمول آن به صورت زیر است:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

که در آن $x_i$ها مقادیر داده و $n$ تعداد داده‌هاست. برای داده‌های نمرات بالا، میانگین حدود 14.8 می‌شود.

• میانه³: مقداری است که داده‌های مرتب شده را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌کند. نصف داده‌ها از میانه بزرگ‌تر و نصف دیگر از آن کوچک‌تر هستند. برای داده‌های نمرات، اگر آن‌ها را مرتب کنیم (مثلاً 7,10,12,14,15,16,17,18,19,20)، میانه بین دو داده میانی یعنی 15 و 16 است که می‌توانیم 15.5 را به عنوان میانه در نظر بگیریم. میانه تحت تأثیر داده‌های خیلی بزرگ یا خیلی کوچک (داده‌های پرت) قرار نمی‌گیرد.
• مد⁴: پرتکرارترین مقدار در مجموعه داده‌هاست. در داده‌های ما، اگر نمره‌ای تکرار نشده باشد، می‌گوییم مجموعه مد ندارد یا می‌توان گفت همه مقادیر مد هستند.

شاخص‌های پراکندگی: میزان گستردگی داده‌ها

شاخص‌های مرکزی به ما تصویر کاملی نمی‌دهند. برای مثال، دو کلاس می‌توانند میانگین نمره یکسانی داشته باشند، اما یک کلاس همه دانش‌آموزان با نمرات نزدیک به هم داشته باشد و کلاس دیگر، نمرات بسیار پراکنده (تعدادی خیلی ضعیف و تعدادی خیلی قوی). شاخص‌های پراکندگی⁵ این تفاوت را نشان می‌دهند.

• دامنه تغییرات⁶: ساده‌ترین شاخص پراکندگی است و از تفاوت بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده به دست می‌آید. در مثال ما: 20 - 7 = 13.
• واریانس و انحراف معیار⁷: این دو شاخص، پراکندگی داده‌ها را نسبت به میانگین می‌سنجند. اگر داده‌ها به میانگین نزدیک باشند، واریانس و انحراف معیار کوچک و اگر پراکنده باشند، بزرگ خواهد بود. فرمول واریانس برای یک نمونه به صورت زیر است:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

و انحراف معیار $s$ جذر واریانس است. واحد انحراف معیار با واحد داده اصلی یکسان است و تفسیر آن راحت‌تر است.

مقایسه کاربرد شاخص‌ها

برای درک بهتر تفاوت کاربرد شاخص‌های مرکزی و پراکندگی، به جدول زیر توجه کنید:

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ شاخص‌های مرکزی (Measures of Central Tendency): مقادیری هستند که تمایل داده‌ها را برای متمرکز شدن حول یک نقطه نشان می‌دهند.

² میانگین (Mean): حاصل جمع تمام مقادیر تقسیم بر تعداد آن‌ها.

³ میانه (Median): مقداری که داده‌های مرتب شده را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌کند.

⁴ مد (Mode): مقداری که بیشترین فراوانی را در یک مجموعه داده دارد.

⁵ شاخص‌های پراکندگی (Measures of Dispersion): مقادیری که میزان تفاوت و گستردگی داده‌ها را نشان می‌دهند.

⁶ دامنه تغییرات (Range): اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار در یک مجموعه داده.

⁷ انحراف معیار (Standard Deviation): معیاری برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها از میانگین. جذر واریانس است.