استقلال متممها: اگر A و B مستقل باشند، آنگاه A' و B' نیز مستقلاند
بازتعریف استقلال: از شهود تا فرمول
پیش از پرداختن به اصل موضوع، باید درک دقیقی از مفهوم استقلال داشته باشیم. دو پیشامد A و B را مستقل مینامیم اگر وقوع یا عدم وقوع یکی بر احتمال وقوع دیگری تأثیری نداشته باشد. به زبان سادهتر، دانستن این که A رخ داده است، اطلاعات جدیدی درباره رخداد B به ما نمیدهد. این مفهوم به زبان ریاضی با فرمول زیر بیان میشود:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$یعنی احتمال اشتراک دو پیشامد برابر است با حاصلضرب احتمالهای هر یک. این فرمول، تعریف ریاضی استقلال است و مبنای تمام اثباتهای بعدی خواهد بود.
اثبات گامبهگام: از A و B مستقل تا متممهای مستقل
حال به سراغ اثبات قضیه اصلی میرویم. فرض کنید A و B دو پیشامد مستقل از یک فضای نمونه2 هستند. میخواهیم نشان دهیم A' (متمم A) و B' (متمم B) نیز مستقلند. برای این کار، از تعریف استقلال و روابط مجموعهای کمک میگیریم.
مثال عینی: پرتاب یک سکه و یک تاس
برای روشن شدن موضوع، یک مثال ساده اما کامل میزنیم. فرض کنید یک سکهٔ سالم (شیر یا خط) و یک تاس سالم (اعداد ۱ تا ۶) را با هم پرتاب میکنیم. پیشامد A را «آمدن شیر روی سکه» و پیشامد B را «آمدن عدد فرد روی تاس» در نظر میگیریم. واضح است که نتیجه پرتاب سکه بر نتیجه پرتاب تاس تأثیری ندارد، بنابراین A و B مستقل هستند.
- $P(A) = \frac{1}{2}$ و $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
- پیشامد A' به معنای «آمدن خط روی سکه» با احتمال $\frac{1}{2}$ است.
- پیشامد B' به معنای «آمدن عدد زوج روی تاس» با احتمال $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ است.
طبق قضیه، باید A' و B' نیز مستقل باشند. برای بررسی، احتمال اشتراک آنها (آمدن خط و عدد زوج) را حساب میکنیم. از آنجایی که همهٔ حالات ممکن $2 \times 6 = 12$ حالت است، حالات مطلوب (خط، ۲)، (خط، ۴) و (خط، ۶) مجموعاً ۳ حالت هستند. بنابراین $P(A' \cap B') = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. از طرفی $P(A') \times P(B') = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. مشاهده میکنیم که تساوی برقرار است و استقلال A' و B' تأیید میشود.
جدول مقایسه استقلال و وابستگی پیشامدها و متممها
| نوع رابطه | شرط ریاضی | نتیجه برای متممها |
|---|---|---|
| استقلال A و B | $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ | A' و B' مستقل |
| استقلال A و B' | $P(A \cap B')=P(A)P(B')$ | A' و B مستقل |
| پیشامدهای وابسته (نمونه) | $P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$ | لزوماً مستقل نیستند |
کاربرد عملی: تحلیل پایایی سیستمها
یکی از کاربردهای مهم این قضیه در مهندسی قابلیت اطمینان4 است. فرض کنید یک سیستم از دو قطعه تشکیل شده که به صورت موازی کار میکنند. سیستم از کار میافتد اگر هر دو قطعه از کار بیفتند. اگر خرابی قطعات مستقل از هم باشد، با استفاده از قضیه متممها میتوانیم احتمال از کار افتادن سیستم را به سادگی محاسبه کنیم.
مثلاً اگر احتمال خرابی قطعه اول $P(A)=0.1$ و قطعه دوم $P(B)=0.2$ باشد و خرابیها مستقل باشند، احتمال خرابی سیستم (یعنی خرابی هر دو) برابر است با $P(A' \cap B')$ که طبق قضیه، چون A و B مستقلند، A' و B' نیز مستقلند و این احتمال برابر $0.1 \times 0.2 = 0.02$ خواهد بود. در اینجا A' به معنای "خرابی قطعه اول" است.
چالشهای مفهومی
خیر. ناوابسته بودن (یعنی $A \cap B = \varnothing$) با استقلال تفاوت دارد. اگر A و B ناوابسته و غیرصفر باشند، حتماً وابسته هستند. زیرا $P(A \cap B)=0$ ولی $P(A)P(B) \gt 0$. در این حالت، متممهایشان نیز لزوماً مستقل نخواهند بود. مثال: پرتاب یک تاس، A = آمدن ۱، B = آمدن ۲. این دو ناوابستهاند اما مستقل نیستند.
قوانین دمورگان رابطه بین اشتراک و اجتماع را با متممها بیان میکنند، اما در اثبات بالا ما مستقیماً به سراغ تقسیم فضای نمونه و استفاده از روابط احتمال رفتیم. میتوانستیم از $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ شروع کنیم، اما روش ارائهشده گامبهگامتر و برای دانشآموزان ملموستر است.
بله، اگر مجموعهای از پیشامدها مستقل باشند (استقلال دوتایی و استقلال کلی)، هر ترکیبی از متممها و خود پیشامدها نیز مستقل خواهند بود. به عنوان مثال، اگر A, B, C مستقل باشند، آنگاه A', B و C' نیز مستقلند. اثبات این موضوع با استقرا و به کارگیری مکرر تعریف استقلال امکانپذیر است.
پاورقی
1 استقلال (Independence): در نظریه احتمال، دو پیشامد را مستقل گویند اگر وقوع یکی بر احتمال وقوع دیگری تأثیری نداشته باشد.
2 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی را فضای نمونه مینامند.
3 قوانین دمورگان (De Morgan's Laws): قوانینی در نظریه مجموعهها که ارتباط بین متمم اجتماع و اشتراک را بیان میکند: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ و $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
4 مهندسی قابلیت اطمینان (Reliability Engineering): شاخهای از مهندسی که به بررسی و تضمین عملکرد صحیح یک سیستم در طول زمان میپردازد.
