کاهش فضای نمونه؛ وقتی دنیای احتمالات کوچکتر میشود
با شرطیسازی، پیشامد جدید را به عنوان جهان ممکن در نظر میگیریم و احتمال رویدادها را دوباره محاسبه میکنیم.
این مقاله به زبان ساده مفهوم فضای همشانس و شرطیکردن را توضیح میدهد. یاد میگیریم که چطور با در نظر گرفتن یک پیشامد بهعنوان فضای نمونه جدید، احتمال رخدادهای دیگر را دوباره محاسبه کنیم. با مثالهای روزمره و جدولهای مقایسه، تفاوت فضای نمونه اصلی و فضای کاهشیافته را بررسی میکنیم و در نهایت با چالشهای مفهومی این مبحث آشنا میشویم.
فضای نمونه همشانس و پیشامدها
در دنیای احتمالات، وقتی میگوییم یک فضا همشانس است یعنی همهٔ پیشامدهای ساده (نتیجههای ممکن) شانس برابر برای رخ دادن دارند. برای نمونه، پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. فضای نمونهٔ این آزمایش عبارت است از همهٔ اعدادی که ممکن است دیده شوند: $ S = \{1,2,3,4,5,6\} $ در این فضا، هر یک از شش وجه شانس برابری برابر $ \frac{1}{6} $ دارند. هر زیرمجموعهای از $S$ را یک پیشامد مینامیم. مثلاً پیشامد $A$ یعنی آمدن عدد زوج: $ A = \{2,4,6\} $. احتمال این پیشامد برابر میشود با تعداد اعضای آن تقسیم بر تعداد اعضای فضای نمونه: $ P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{3}{6} = 0.5 $
? مثال ملموس فرض کنید در یک کیف 5 توپ قرمز و 5 توپ آبی داریم. فضای نمونه برای بیرون کشیدن یک توپ، 10 توپ است. شانس آمدن توپ قرمز $ \frac{5}{10} $ است. این فضا همشانس است چون همه توپها شانس یکسانی برای انتخاب شدن دارند.
شرطی کردن: معرفی فضای نمونه جدید
گاهی پیش از انجام آزمایش، اطلاعاتی به دست میآوریم که برخی از حالتها را غیرممکن میکند. در این شرایط، فضای نمونه اصلی کوچکتر میشود. به این فرآیند، شرطی کردن نسبت به یک پیشامد میگویند. یعنی آن پیشامد را به عنوان فضای نمونه جدید در نظر میگیریم و احتمال پیشامدهای دیگر را نسبت به این فضای محدودشده محاسبه میکنیم. برای نمونه، فرض کنید تاسی انداختهایم و کسی به ما میگوید عدد آمده فرد است. حالا فضای نمونه جدید فقط اعداد فرد خواهد بود: $ B = \{1,3,5\} $ اگر بخواهیم احتمال این که عدد آمده کمتر از 4 باشد با شرط فرد بودن حساب کنیم، یعنی $ P(\text{کمتر از 4} \mid \text{فرد}) $. پیشامد مورد علاقهی ما یعنی اعداد کمتر از 4 که فرد هم باشند فقط عدد 1 و 3 هستند. پس در فضای جدید: $ P = \frac{|\{1,3\}|}{|\{1,3,5\}|} = \frac{2}{3} $
فرمول کلی احتمال شرطی: اگر $A$ و $B$ دو پیشامد باشند، احتمال رخداد $A$ به شرط وقوع $B$ برابر است با:
$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
در فضای همشانس، این فرمول به رابطهی سادهی زیر تبدیل میشود:
$ P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} $
یعنی تعداد اعضای اشتراک دو پیشامد، تقسیم بر تعداد اعضای پیشامد شرط.
مقایسه فضای اصلی و شرطی شده با یک مثال عملی
برای درک بهتر، یک مثال عینی و گامبهگام را بررسی میکنیم. فرض کنید در یک کلاس 30 نفره، 18 دانشآموز چشم قهوهای و 12 نفر چشم آبی دارند. همچنین 10 نفر از آنها عینکی هستند که از این تعداد، 7 نفر چشم قهوهای و 3 نفر چشم آبی دارند.| ویژگی | چشم قهوهای | چشم آبی | مجموع |
|---|---|---|---|
| عینکی | 7 | 3 | 10 |
| بدون عینک | 11 | 9 | 20 |
| مجموع | 18 | 12 | 30 |
- فضای نمونه اصلی: همهٔ 30 دانشآموز.
- پیشامد شرط $B$ (چشم قهوهای):18 نفر.
- اشتراک پیشامد عینکی و چشم قهوهای $A \cap B$:7 نفر.
$ P(\text{عینکی} \mid \text{قهوهای}) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{7}{18} $
در این محاسبه، ما فضای نمونه را از 30 نفر به 18 نفر (کسانی که چشم قهوهای دارند) کاهش دادیم. این یعنی فضای نمونه جدید همان پیشامد شرط است.
کاربرد کاهش فضای نمونه در زندگی روزمره
درک این مفهوم به ما کمک میکند تا بسیاری از پدیدههای اطراف را بهتر تحلیل کنیم. برای نمونه:- آزمایشهای پزشکی: فرض کنید جواب آزمایش یک بیماری مثبت شده است. فضای نمونه جدید تمام کسانی هستند که جواب مثبت داشتهاند. احتمال این که واقعاً بیماری داشته باشید با در نظر گرفتن این فضای جدید محاسبه میشود.
- بازیهای فکری: در مسابقهای که سه درب وجود دارد و مجری یکی را باز میکند، فضای نمونه برای انتخاب برنده تغییر میکند (مسئلهی مونتی هال1).
- نظرسنجیها: اگر بدانیم فردی در نظرسنجی در گروه سنی خاصی قرار دارد، تحلیل رفتار او را در همان گروه (فضای نمونه کاهشیافته) بررسی میکنیم.
چالشهای مفهومی
❓ چالش اول: آیا احتمال شرطی میتواند از احتمال بدون شرط بزرگتر شود؟
پاسخ: بله، کاملاً ممکن است. مثلاً در مثال تاس، احتمال آمدن عدد 2 برابر $ \frac{1}{6} $ است ولی اگر شرط کنیم عدد آمده زوج است، احتمال آمدن 2 به $ \frac{1}{3} $ افزایش مییابد. شرط کردن، فضای نمونه را کوچک میکند و اگر پیشامد مورد علاقه سهم بیشتری در فضای جدید داشته باشد، احتمال افزایش مییابد.
❓ چالش دوم: اگر پیشامد شرط $B$ تهی باشد، چه اتفاقی میافتد؟
پاسخ: اگر $B = \varnothing$ باشد ($P(B)=0$)، احتمال شرطی تعریف نشده است. زیرا فضای نمونه جدید هیچ عضوی ندارد و تقسیم بر صفر معنا ندارد. در ریاضیات، احتمال شرطی فقط برای پیشامدهایی تعریف میشود که احتمال وقوعشان مثبت باشد.
❓ چالش سوم: آیا همیشه میتوانیم فضای نمونه را به یک پیشامد کاهش دهیم؟
پاسخ: بله، از نظر مفهومی هر پیشامد با احتمال مثبت میتواند به عنوان فضای نمونه جدید در نظر گرفته شود. اما نکته مهم این است که در فضای جدید، نسبیتها حفظ میشود؛ یعنی نسبت احتمالهای درون فضای جدید با نسبتهای متناظر در فضای اصلی متناسب است. این تناسب با فرمول $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ نشان داده میشود.
جمعبندی
در این مقاله فهمیدیم که کاهش فضای نمونه یا شرطی کردن یعنی با بهدست آوردن اطلاعات جدید، جهان ممکن را محدودتر کنیم. این کار با در نظر گرفتن پیشامد شرط به عنوان فضای نمونه جدید و محاسبهی مجدد احتمالها انجام میشود. برای فضای همشانس، فرمول سادهی $P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$ به ما کمک میکند تا به سرعت احتمال در فضای جدید را پیدا کنیم. این مفهوم نه تنها در ریاضیات، بلکه در تصمیمگیریهای روزمره، علم داده و پزشکی کاربرد فراوان دارد. مهمترین نکته این است که همیشه پیشامد شرط باید احتمال مثبت داشته باشد تا محاسبه معنا پیدا کند.
